Giải bài tập 4.12 trang 19

Đề bài

Cho các hàm số $f (x)$ , $g (x)$ liên tục trên đoạn $[- 1; 3]$ thỏa mãn $\int_{- 1}^{2} f (x) d x = 2$ , $\int_{- 1}^{3} f (x) d x = 6$ , và $\int_{- 1}^{2} g (x) d x = - 1$ . Tính:

a) $\int_{2}^{3} f (x) d x$ ;

b) $I = \int_{- 1}^{2} (x + 2 f (x) - 3 g (x)) d x$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Để tính $\int_{2}^{3} f (x) d x$ , ta sử dụng quy tắc tính tích phân trên đoạn chia nhỏ:

$\int_{- 1}^{3} f (x) d x = \int_{- 1}^{2} f (x) d x + \int_{2}^{3} f (x) d x$

Suy ra, ta có thể tính $\int_{2}^{3} f (x) d x$ bằng cách lấy hiệu của $\int_{- 1}^{3} f (x) d x$ và $\int_{- 1}^{2} f (x) d x$ .

b) Để tính tích phân $I = \int_{- 1}^{2} (x + 2 f (x) - 3 g (x)) d x$ , ta sử dụng quy tắc tích phân của một tổng:

$\int (u (x) + v (x)) d x = \int u (x) d x + \int v (x) d x$

Cụ thể:

$I = \int_{- 1}^{2} x d x + 2 \int_{- 1}^{2} f (x) d x - 3 \int_{- 1}^{2} g (x) d x$

Sau đó tính từng tích phân một cách riêng rẽ và cộng lại để có kết quả cuối cùng.

Lời giải chi tiết

a) Tính $\int_{2}^{3} f (x) d x$ Ta có:

$\int_{- 1}^{3} f (x) d x = \int_{- 1}^{2} f (x) d x + \int_{2}^{3} f (x) d x$

Thay các giá trị đã biết:

$6 = 2 + \int_{2}^{3} f (x) d x$

Suy ra:

$\int_{2}^{3} f (x) d x = 6 - 2 = 4$

b) Tính $I = \int_{- 1}^{2} (x + 2 f (x) - 3 g (x)) d x$ Ta có:

$I = \int_{- 1}^{2} x d x + 2 \int_{- 1}^{2} f (x) d x - 3 \int_{- 1}^{2} g (x) d x$

- Tính $\int_{- 1}^{2} x d x$ :

$\int_{- 1}^{2} x d x = \frac{x^{2}}{2} |_{- 1}^{2} = \frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2} = \frac{4}{2} - \frac{1}{2} = \frac{3}{2} = 1, 5$

- Tính $2 \int_{- 1}^{2} f (x) d x$ :

$2 \int_{- 1}^{2} f (x) d x = 2 \times 2 = 4$

- Tính $- 3 \int_{- 1}^{2} g (x) d x$ :

$- 3 \int_{- 1}^{2} g (x) d x = - 3 \times (- 1) = 3$

Vậy:

$I = 1, 5 + 4 + 3 = 8, 5$ .