Giải bài tập 4.13 trang 18

Giả sử vận tốc v của dòng máu ở khoảng cách r từ tâm của động mạch bán kính R không đổi, có thể được mô hình hóa bởi công thức (v = kleft( {{R^2} - {r^2}} right)), trong đó k là một hằng số. Tìm vận tốc trung bình (đối với r) của động mạch trong khoảng (0 le r le R). So sánh vận tốc trung bình với v

Đề bài

Giả sử vận tốc v của dòng máu ở khoảng cách r từ tâm của động mạch bán kính R không đổi, có thể được mô hình hóa bởi công thức $v = k (R^{2} - r^{2})$ , trong đó k là một hằng số. Tìm vận tốc trung bình (đối với r) của động mạch trong khoảng $0 \leq r \leq R$ . So sánh vận tốc trung bình với vận tốc lớn nhất.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng kiến thức về định nghĩa tích phân để tính: Cho f(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a; b]. Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên đoạn [a; b] thì hiệu số $F (b) - F (a)$ được gọi là tích phân từ a đến b của hàm số f(x), kí hiệu $\int_{a}^{b} f (x) d x$ .

Sử dụng kiến thức về định nghĩa giá trị trung bình để tính: Giá trị trung bình của hàm số liên tục f(x) trên đoạn [a; b] được định nghĩa là $\frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

Lời giải chi tiết

Vận tốc trung bình của động mạch là:

$\frac{1}{R - 0} \int_{0}^{R} v (r) d r$

$= \frac{1}{R} \int_{0}^{R} k (R^{2} - r^{2}) d r$

$= \frac{1}{R} \int_{0}^{R} (k R^{2} - k r^{2}) d r$

$= \frac{1}{R} (k R^{2} r - \frac{k r^{3}}{3}) | \begin{array}{l} R \\ 0 \end{array}$

$= \frac{1}{R} (k . R^{3} - \frac{k R^{3}}{3}) = \frac{2 k R^{2}}{3}$ .

Do đó, vận tốc trung bình của động mạch là: $v_{t b} = \frac{2 k R^{2}}{3}$ .

Vì $0 \leq r \leq R$ nên vận tốc của động mạch đạt giá trị lớn nhất là $v_{max} = k R^{2}$ khi $r = 0$ .

Do đó, $v_{max} = \frac{3}{2} v_{t b}$ .