Giải bài tập 4.13 trang 20

Đề bài

Tính các tích phân sau:

a) ${\int }_{-1}^{2}x(x+1)dx$;

b) ${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\cos }^2\frac{x}{2}dx$;

c) ${\int }_1^2{2}^{1-3x}dx$;

d) ${\int }_0^{\frac{\pi }{4}}{\tan }^{2}xdx$;

e) ${\int }_1^4\left(e^{2x+1}-3x\sqrt{x}\right)dx$;

g) ${\int }_1^4|5-3x|dx$.

Lời giải chi tiết

a)

${\int }_{-1}^{2}x(x+1)dx={\int }_{-1}^2(x^2+x)dx={\int }_{-1}^2{x}^{2}dx+{\int }_{-1}^{2}xdx$

Tính từng phần:

${\int }_{-1}^2{x}^{2}dx=\frac{x^3}{3}{|}_{-1}^2=\frac{2^3}{3}-\frac{{(-1)}^3}{3}=\frac{8}{3}+\frac{1}{3}=\frac{9}{3}=3,$

${\int }_{-1}^{2}xdx=\frac{x^2}{2}{|}_{-1}^2=\frac{2^2}{2}-\frac{{(-1)}^2}{2}=\frac{4}{2}-\frac{1}{2}=2-\frac{1}{2}=\frac{3}{2}.$

Kết quả:

${\int }_{-1}^{2}x(x+1)dx=3+\frac{3}{2}=\frac{9}{2}.$

b)

Sử dụng công thức hạ bậc:

${\cos }^2\frac{x}{2}=\frac{1+\cos x}{2}.$

Tính tích phân:

${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\cos }^2\frac{x}{2}dx=\frac{1}{2}{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}(1+\cos x)dx=\frac{1}{2}\left({\int }_0^{\frac{\pi }{2}}1dx+{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\cos xdx\right).$

Tính từng phần:

${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}1dx=\frac{\pi }{2},{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\cos xdx=\sin x{|}_0^{\frac{\pi }{2}}=1-0=1.$

Kết quả:

${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\cos }^2\frac{x}{2}dx=\frac{1}{2}\left(\frac{\pi }{2}+1\right)=\frac{\pi +2}{4}.$

c)

Sử dụng công thức tích phân của hàm mũ:

$\int a^{bx}dx=\frac{a^{bx}}{b\ln a}.$

Tính tích phân:

${\int }_1^2{2}^{1-3x}dx={\int }_1^{2}2\cdot 2^{-3x}dx=2{\int }_1^2{2}^{-3x}dx.$

Áp dụng công thức:

$2\int 2^{-3x}dx=2\cdot \frac{2^{-3x}}{-3\ln 2}=-\frac{2^{-3x+1}}{3\ln 2}.$

Thay cận:

$-\frac{2^{-3x+1}}{3\ln 2}{|}_1^2=-\frac{2^{-5}}{3\ln 2}+\frac{2^{-2}}{3\ln 2}=\frac{1}{3\ln 2}\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{32}\right)=\frac{1}{3\ln 2}\cdot \frac{7}{32}.$

Kết quả:

${\int }_1^2{2}^{1-3x}dx=\frac{7}{96\ln 2}.$

d)

Sử dụng công thức: 

${\tan }^{2}x=\frac{1}{{\cos }^{2}x}-1.$

Tính tích phân:

${\int }_0^{\frac{\pi }{4}}{\tan }^{2}xdx={\int }_0^{\frac{\pi }{4}}(\frac{1}{{\cos }^{2}x}-1)dx={\int }_0^{\frac{\pi }{4}}\frac{1}{{\cos }^{2}x}dx-{\int }_0^{\frac{\pi }{4}}1dx.$

Tính từng phần:

${\int }_0^{\frac{\pi }{4}}\frac{1}{{\cos }^{2}x}dx=\tan x{|}_0^{\frac{\pi }{4}}=1-0=1,$

${\int }_0^{\frac{\pi }{4}}1dx=\frac{\pi }{4}.$

Kết quả:

${\int }_0^{\frac{\pi }{4}}{\tan }^{2}xdx=1-\frac{\pi }{4}.$

e)

Chia thành hai tích phân:

${\int }_1^4\left(e^{2x+1}-3x\sqrt{x}\right)dx={\int }_1^4{e}^{2x+1}dx-3{\int }_1^{4}x\sqrt{x}dx.$

Tính từng phần:

- Với $e^{2x+1}$, đặt $u=2x+1$, $du=2dx$, ta có:

$\int e^{2x+1}dx=\frac{1}{2}\int e^{u}du=\frac{e^u}{2}=\frac{e^{2x+1}}{2}.$

Thay cận:

$\frac{e^{2x+1}}{2}{|}_1^4=\frac{e^9}{2}-\frac{e^3}{2}.$

- Với $x\sqrt{x}=x^{3/2}$, ta có:

$\int x^{3/2}dx=\frac{2}{5}{x}^{5/2}.$

Thay cận:

$\frac{2}{5}{x}^{5/2}{|}_1^4=\frac{2}{5}(32-1)=\frac{62}{5}.$

Kết quả:

${\int }_1^4\left(e^{2x+1}-3x\sqrt{x}\right)dx=\frac{e^9-e^3}{2}-\frac{186}{5}.$

g)

Tìm điểm đổi dấu:

$5-3x=0khix=\frac{5}{3}.$

Chia khoảng tích phân:

${\int }_1^4|5-3x|dx={\int }_1^{\frac{5}{3}}(5-3x)dx+{\int }_{\frac{5}{3}}^4(3x-5)dx.$

Tính tích phân trên đoạn $[1,\frac{5}{3}]$:

${\int }_1^{\frac{5}{3}}(5-3x)dx=5x-\frac{3x^2}{2}{|}_1^{\frac{5}{3}}=\frac{25}{3}-\frac{25}{6}-\left(5-\frac{3}{2}\right)=\frac{2}{3}.$

Tính tích phân trên đoạn $[\frac{5}{3},4]$:

${\int }_{\frac{5}{3}}^4(3x-5)dx=\frac{3x^2}{2}-5x{|}_{\frac{5}{3}}^4=4-\left(-\frac{25}{6}\right)=\frac{49}{6}.$

Kết quả cuối cùng:

${\int }_1^4|5-3x|dx=\frac{2}{3}+\frac{49}{6}=\frac{53}{6}.$