Giải bài tập 4.14 trang 20

Đề bài

Một quả bóng được ném lên từ độ cao $1,5m$ với vận tốc ban đầu $24m/s$. Biết gia tốc của quả bóng là $a=-9,8m/s^2$.

a) Tính vận tốc của quả bóng tại thời điểm 1 giây sau khi được ném lên.

b) Tính quãng đường quả bóng đi được từ lúc ném lên đến khi chạm đất lần đầu.

Lời giải chi tiết

a)

Gia tốc của quả bóng là hằng số:

$a\left(t\right)=-9,8m/s^2$

Lấy tích phân gia tốc để tìm vận tốc:

$v\left(t\right)=\int a\left(t\right)dt=\int -9,8dt$

Tính tích phân gia tốc từ 0 đến 1:

${\int }_0^1-9,8dt={-9,8t|}_0^1=-9,8.1-0=-9,8$

Mà dựa trên định nghĩa tích phân, ta có:

${\int }_0^{1}a\left(t\right)dt=v\left(1\right)-v\left(0\right)$

Suy ra, vận tốc tại thời điểm 1 giây là:

$v\left(1\right)={\int }_0^{1}a\left(t\right)dt+v\left(0\right)=-9,8+24=14,2$

Vận tốc của quả bóng tại thời điểm 1 giây sau khi ném là $14.2m/s$.

b)

Vận tốc của quả bóng:

$v\left(t\right)=-9.8t+24$

Lấy tích phân của vận tốc để tìm quãng đường:

$s\left(t\right)=\int v\left(t\right)dt=\int (-9.8t+24)dt=-4,9t^2+24t+C$

Vì $s\left(0\right)=1,5$ nên $C=1,5$

Biết rằng khi bóng chạm đất thì $s=0$, suy ra thời gian quả bóng chạm đất là:

$t_{cd}\approx 4,96$

Từ đó ta suy ra được quãng đường quả bóng đi được từ lúc ném bóng tới lúc chạm đất là:

$s={\int }_0^{4,96}\left|v\left(t\right)\right|dt$

Thời điểm quả bóng đạt độ cao cực đại là khi vận tốc bằng 0:

$t_{max}=\frac{24}{9,8}\approx 2,45$

Suy ra:

$s={\int }_0^{4,96}\left|-9,8t+24\right|dt={\int }_0^{2,45}\left|-9,8t+24\right|dt+{}^{}{\int }_{2,45}^{4,96}\left|-9,8t+24\right|dt$

$s={\left(-4,9t^2+24t\right)|}_0^{2,45}+{\left(4,9t^2-24t\right)|}_{2,45}^{4,96}$

$s\approx 29,39+30,9\approx 60,29$

Tổng quãng đường quả bóng đi được từ lúc ném lên đến khi chạm đất là 60,29m.