Giải bài tập 4.15 trang 20

Đề bài

Đường gấp khúc ABD trong Hình 4.8 là đồ thị vận tốc $v\left(t\right)$ của một vật (t = 0 là thời điểm vật bắt đầu chuyển động). Trong khoảng thời gian mà $v<0$thì vật chuyển động ngược chiều với khoảng thời gian mà $v>0$.

a) Viết công thức của hàm số $v\left(t\right)$ với $t\in [0;9]$.

b) Biết rằng quãng đường vật đi chuyển với vận tốc $v=v\left(t\right)$ từ thời điểm $t=a$ đến thời điểm $t=b$ là $s={\int }_a^b|v\left(t\right)|dt$, tính quãng đường vật di chuyển được trong 9 giây kể từ khi vật bắt đầu chuyển động.

c) Tính tổng diện tích của hình thang $OABC$ và tam giác $CDE$ rồi so sánh với kết quả ở câu b.

Lời giải chi tiết

a)

- Đoạn $AB$: Ở đây, đồ thị có giá trị vận tốc không đổi là 4 m/s từ $t=0$ đến $t=6$, tức là:

$v\left(t\right)=4,t\in [0;6].$

- Đoạn $BC$ và $CD$: Đoạn này là một đường thẳng dốc xuống từ $t=6$ đến $t=8$, vận tốc giảm từ 4 m/s xuống -2 m/s. Phương trình đường thẳng có dạng:

$v\left(t\right)=-2t+16,t\in [6;9].$

Vậy, công thức của hàm vận tốc $v\left(t\right)$ theo từng khoảng là:

$v\left(t\right)={\{}_{-2t+16khi6<t\le 9}^{4khi0\le t\le 6}$

b)

- Quãng đường được tính là tích phân của $|v\left(t\right)|$. Cần tính tích phân của các đoạn như sau:

Đoạn AB:

${\int }_0^6|v\left(t\right)|dt={\int }_0^{6}4dt=4\times 6=24m.$

Đoạn BC và CD:

${\int }_6^9|v\left(t\right)|dt={\int }_6^9\left|-2t+16\right|dt={\int }_6^8\left(-2t+16\right)dt+{}^{}{\int }_8^9\left(2t-16\right)dt$

${\int }_6^9|v\left(t\right)|dt={(-t^2+16t)|}_6^8+{(t^2-16t)|}_8^9=4+1=5m$

Tổng quãng đường vật di chuyển là:

$24+5=29m.$

c)

Diện tích hình thang $OABC$:

Công thức diện tích hình thang: 

$S_{ht}=\frac{1}{2}\times (AB+OC)\times OA=\frac{1}{2}\times (6+8)\times 4=28.$

Diện tích tam giác $CDE$:

Công thức diện tích tam giác:

$S_{tg}=\frac{1}{2}\times CE\times ED=\frac{1}{2}\times 1\times 2=1$

Tổng diện tích là:

$S_{tong}=28+1=29$

Vậy kết quả ở câu c và câu b là giống nhau.