Giải bài tập 4.15 trang 25

Đề bài

Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường:

a) $y = e^{x}, y = x^{2} - 1, x = - 1, x = 1$ ;

b) $y = \sin x, y = x, x = \frac{π}{2}, x = π$ ;

c) $y = 9 - x^{2}, y = 2 x^{2}, x = - \sqrt{3}, x = \sqrt{3}$ ;

d) $y = \sqrt{x}, y = x^{2}, x = 0, x = 1$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng kiến thức về diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số và đường thẳng $x = a, x = b$ để tính: Diện tích S của hình phẳng giới hạn đồ thị của hai hàm số f(x), g(x) liên tục trên đoạn [a; b] và hai đường thẳng $x = a, x = b$ , được tính bằng công thức $S = \int_{a}^{b} | f (x) - g (x) | d x$ .

Lời giải chi tiết

a) Diện tích hình cần tìm là:

$S = \int_{- 1}^{1} | e^{x} - x^{2} + 1 | d x$

$= \int_{- 1}^{1} (e^{x} - x^{2} + 1) d x$

$= (e^{x} - \frac{x^{3}}{3} + x) | \begin{array}{l} 1 \\ - 1 \end{array}$

$= e - \frac{1}{3} + 1 - (\frac{1}{e} + \frac{1}{3} - 1)$

$= e - \frac{1}{e} + \frac{4}{3}$ .

b) Diện tích hình cần tính là:

$S = \int_{\frac{π}{2}}^{π} | \sin x - x | d x$

$= - \int_{\frac{π}{2}}^{π} (\sin x - x) d x$

$= (\cos x + \frac{x^{2}}{2}) | \begin{array}{l} π \\ \frac{π}{2} \end{array}$

$= \cos π + \frac{π^{2}}{2} - \cos \frac{π}{2} - \frac{π^{2}}{8}$

$= - 1 + \frac{3 π^{2}}{8}$ .

c) Diện tích hình cần tính là:

$S = \int_{- \sqrt{3}}^{\sqrt{3}} | 9 - x^{2} - 2 x^{2} | d x$

$= \int_{- \sqrt{3}}^{\sqrt{3}} (9 - 3 x^{2}) d x$

$= (9 x - x^{3}) | \begin{array}{l} \sqrt{3} \\ - \sqrt{3} \end{array}$

$= 9 \sqrt{3} - {(\sqrt{3})}^{3} + 9 \sqrt{3} + {(- \sqrt{3})}^{3}$

$= 12 \sqrt{3}$ .

d) Diện tích hình cần tính là:

$S = \int_{0}^{1} | \sqrt{x} - x^{2} | d x$

$= \int_{0}^{1} (\sqrt{x} - x^{2}) d x$

$= (\frac{2 x \sqrt{x}}{3} - \frac{x^{3}}{3}) | \begin{array}{l} 1 \\ 0 \end{array}$

$= \frac{2}{3} - \frac{1}{3} = \frac{1}{3}$ .