Giải bài tập 4.15 trang 25

Đề bài

Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường:

a) $y=e^x,y=x^2-1,x=-1,x=1$;

b) $y=\sin x,y=x,x=\frac{\pi }{2},x=\pi$;

c) $y=9-x^2,y=2x^2,x=-\sqrt{3},x=\sqrt{3}$;

d) $y=\sqrt{x},y=x^2,x=0,x=1$.

Lời giải chi tiết

a) Diện tích hình cần tìm là:

$S=\underset{-1}{\overset{1}{\int }}\left|e^x-x^2+1\right|dx$

$=\underset{-1}{\overset{1}{\int }}\left(e^x-x^2+1\right)dx$

$=\left(e^x-\frac{x^3}{3}+x\right)|\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}$

$=e-\frac{1}{3}+1-\left(\frac{1}{e}+\frac{1}{3}-1\right)$

$=e-\frac{1}{e}+\frac{4}{3}$.

b) Diện tích hình cần tính là:

$S=\underset{\frac{\pi }{2}}{\overset{\pi }{\int }}\left|\sin x-x\right|dx$

$=-\underset{\frac{\pi }{2}}{\overset{\pi }{\int }}\left(\sin x-x\right)dx$

$=\left(\cos x+\frac{x^2}{2}\right)|\begin{array}{c}\pi \\ \frac{\pi }{2}\end{array}$

$=\cos \pi +\frac{{\pi }^2}{2}-\cos \frac{\pi }{2}-\frac{{\pi }^2}{8}$

$=-1+\frac{3{\pi }^2}{8}$.

c) Diện tích hình cần tính là:

$S=\underset{-\sqrt{3}}{\overset{\sqrt{3}}{\int }}\left|9-x^2-2x^2\right|dx$

$=\underset{-\sqrt{3}}{\overset{\sqrt{3}}{\int }}\left(9-3x^2\right)dx$

$=\left(9x-x^3\right)|\begin{array}{c}\sqrt{3}\\ -\sqrt{3}\end{array}$

$=9\sqrt{3}-{\left(\sqrt{3}\right)}^3+9\sqrt{3}+{\left(-\sqrt{3}\right)}^3$

$=12\sqrt{3}$.

d) Diện tích hình cần tính là:

$S=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\left|\sqrt{x}-x^2\right|dx$

$=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\left(\sqrt{x}-x^2\right)dx$

$=\left(\frac{2x\sqrt{x}}{3}-\frac{x^3}{3}\right)|\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}$

$=\frac{2}{3}-\frac{1}{3}=\frac{1}{3}$.