Giải bài tập 4.17 trang 21

Đề bài

Hiệu suất của tim là lưu lượng máu được bơm bởi tim trên một đơn vị thời gian (lưu lượng máu chảy vào động mạch chủ). Để đo hiệu suất của tim, người ta bơm $A$ (mg) chất chỉ thị màu vào tâm nhĩ phải, chảy qua tim rồi vào động mạch chủ và đo nồng độ chất chỉ thị màu còn lại ở tim đến thời điểm $T\left(s\right)$ khi chất chỉ thị màu tan sạch. Gọi $c\left(t\right)$ là nồng độ $\left(mg/l\right)$ chất chỉ thị màu tại thời điểm $t$ (s) thì hiệu suất của tim được xác định bởi:

$F=\frac{A}{{\int }_0^{T}c\left(t\right)dt}\left(l/s\right)$

Tính hiệu suất của tim khi bơm 8 mg chất chỉ thị màu vào tâm nhĩ phải, biết rằng $c\left(t\right)=\frac{1}{4}t(12-t)$ với $0\le t\le 12$.

Lời giải chi tiết

- Hàm nồng độ chất chỉ thị màu theo thời gian $c\left(t\right)$ được cho bởi:

$c\left(t\right)=\frac{1}{4}t(12-t)$

- Tính tích phân ${\int }_0^{12}c\left(t\right)dt$:

${\int }_0^{12}\frac{1}{4}t(12-t)dt=\frac{1}{4}{\int }_0^{12}t(12-t)dt$

- Ta phân tích biểu thức $t(12-t)$:

$t(12-t)=12t-t^2$

- Khi đó, tích phân trở thành:

$\frac{1}{4}{\int }_0^{12}(12t-t^2)dt=\frac{1}{4}\left({\int }_0^{12}12tdt-{\int }_0^{12}{t}^{2}dt\right)$

- Tính từng tích phân:

${\int }_0^{12}12tdt=12\times \frac{t^2}{2}{|}_0^{12}=12\times \frac{{12}^2}{2}=12\times 72=864$

${\int }_0^{12}{t}^{2}dt=\frac{t^3}{3}{|}_0^{12}=\frac{{12}^3}{3}=\frac{1728}{3}=576$

- Vậy, ta có:

$\frac{1}{4}\left(864-576\right)=\frac{1}{4}\times 288=72$

- Thay kết quả vào công thức tính hiệu suất $F$:

$F=\frac{A}{{\int }_0^{12}c\left(t\right)dt}=\frac{8}{72}=\frac{1}{9}\left(l/s\right)$.