Giải bài tập 4.18 trang 21

Đề bài

Ở ${45}^{\circ }C$, phản ứng hóa học phân hủy $N_2{O}_5$ xảy ra theo phương trình:

$N_2{O}_5\to 2N{O}_2+\frac{1}{2}{O}_2$

với nồng độ $c\left(t\right)$ (mol/L) của $N_2{O}_5$ $\left(c\right(t)>0)$ tại thời điểm $t$ giây (t $\ge 0$) thỏa mãn $c^{\prime }\left(t\right)=-0,0005c\left(t\right)$. Biết khi $t=0$, nồng độ ban đầu của $N_2{O}_5$ là 0,05 mol/L.

a) Xét hàm số $y\left(t\right)=\ln c\left(t\right)$ với $t\ge 0$. Tính $y^{\prime }\left(t\right)$, từ đó tìm $y\left(t\right)$.

b) Biết rằng nồng độ trung bình của $N_2{O}_5$ (mol/L) từ thời điểm $a$ giây đến thời điểm $b$ giây ($a<b$) được cho bởi công thức:

$\frac{1}{b-a}{\int }_a^{b}c\left(t\right)dt$

Tính nồng độ trung bình của $N_2{O}_5$ từ thời điểm 10 giây đến thời điểm 20 giây.

Lời giải chi tiết

a)

- Ta có:

$y\left(t\right)=\ln c\left(t\right)$

Lấy đạo hàm của $y\left(t\right)$:

$y^{\prime }\left(t\right)=\frac{d}{dt}\left[\ln c\right(t\left)\right]=\frac{c^{\prime }\left(t\right)}{c\left(t\right)}$

- Theo đề bài, $c^{\prime }\left(t\right)=-0,0005c\left(t\right)$, do đó:

$y^{\prime }\left(t\right)=\frac{-0,0005c\left(t\right)}{c\left(t\right)}=-0,0005$

- Tính $y\left(t\right)$ bằng cách tích phân $y^{\prime }\left(t\right)$:

$y\left(t\right)=\int y^{\prime }\left(t\right)dt=\int -0,0005dt=-0,0005t+C$

- Khi $t=0$, ta có $c\left(0\right)=0,05mol/L$, do đó:

$y\left(0\right)=\ln c\left(0\right)=\ln 0,05$

Vậy, $C=\ln 0,05$.

- Kết luận:

$y\left(t\right)=-0,0005t+\ln 0,05$

b)

- Nồng độ trung bình của $N_2{O}_5$ từ thời điểm 10 giây đến thời điểm 20 giây là:

$\frac{1}{b-a}{\int }_a^{b}c\left(t\right)dt=\frac{1}{20-10}{\int }_{10}^{20}c\left(t\right)dt=\frac{1}{10}{\int }_{10}^{20}c\left(t\right)dt$

- Từ câu a, ta biết $c\left(t\right)=e^{y\left(t\right)}=e^{-0,0005t+\ln 0,05}=0,05e^{-0,0005t}$.

- Tính tích phân:

${\int }_{10}^{20}0,05e^{-0,0005t}dt=0,05{\int }_{10}^{20}{e}^{-0,0005t}dt$

- Tích phân của $e^{-0,0005t}$ là:

$\int e^{-0,0005t}dt=\frac{e^{-0,0005t}}{-0,0005}=-2000e^{-0,0005t}$

- Do đó:

$0,05{\int }_{10}^{20}{e}^{-0,0005t}dt=0,05\left(-2000e^{-0,0005t}{|}_{10}^{20}\right)$

$=-100\left(e^{-0,0005\times 20}-e^{-0,0005\times 10}\right)$

$=-100\left(e^{-0,01}-e^{-0,005}\right)$

- Sử dụng giá trị gần đúng:

$e^{-0,01}\approx 0,99005,e^{-0,005}\approx 0,99501$

- Khi đó:

$-100\left(0,99005-0,99501\right)=-100\times (-0,00496)=0,496$

- Nồng độ trung bình là:

$\frac{1}{10}\times 0,496=0,0496mol/L$