Giải bài tập 4.18 trang 26

Đề bài

Khối chỏm cầu có bán kính R và chiều cao h $(0 < h \leq R)$ sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi cung tròn có phương trình $y = \sqrt{R^{2} - x^{2}}$ , trục hoành và hai đường thẳng $x = R - h$ , $x = R$ xung quanh trục Ox (H.4.30). Tính thể tích của khối chỏm cầu này.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng kiến thức về công thức tính thể tích của khối tròn xoay để tính: Cho hàm số f(x) liên tục, không âm trên đoạn [a; b]. Khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = f (x)$ , trục hoành và hai đường thẳng $x = a$ , $x = b$ xung quanh trục hoành, ta được hình khối gọi là một khối tròn xoay. Khi cắt khối tròn xoay đó bởi một mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm $x \in [a; b]$ được một hình tròn có bán kính f(x). Thể tích của khối tròn xoay này là: $V = π \int_{a}^{b} f^{2} (x) d x$ .

Lời giải chi tiết

Thể tích khối chỏm cầu là:

$V = π \int_{R - h}^{R} (R^{2} - x^{2}) d x$

$= π (R^{2} x - \frac{x^{3}}{3}) | \begin{array}{l} R \\ R - h \end{array}$

$= π [R^{3} - \frac{R^{3}}{3} - R^{2} (R - h) + \frac{{(R - h)}^{3}}{3}]$

$= π h^{2} (R - \frac{h}{3})$ .