Giải bài tập 4.2 trang 11

Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: a) (fleft( x right) = 3{x^2} + 2x - 1); b) (fleft( x right) = {x^3} - x); c) (fleft( x right) = {left( {2x + 1} right)^2}); d) (fleft( x right) = {left( {2x - frac{1}{x}} right)^2}).

Đề bài

Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

a) $f (x) = 3 x^{2} + 2 x - 1$ ;

b) $f (x) = x^{3} - x$ ;

c) $f (x) = {(2 x + 1)}^{2}$ ;

d) $f (x) = {(2 x - \frac{1}{x})}^{2}$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng kiến thức về tính chất cơ bản của nguyên hàm để tính:

$\int k f (x) d x = k \int f (x) d x$ .

Sử dụng kiến thức về nguyên hàm một tổng để tính:

$\int [f (x) - g (x)] d x = \int f (x) d x - \int g (x) d x$ ;

$\int [f (x) + g (x)] d x = \int f (x) d x + \int g (x) d x$ .

Sử dụng kiến thức về nguyên hàm của hàm số lũy thừa để tính:

$\int x^{α} d x = \frac{x^{α + 1}}{α + 1} + C (α \neq - 1)$ .

Lời giải chi tiết

a) $\int (3 x^{2} + 2 x - 1) d x$

$= 3 \int x^{2} d x + 2 \int x d x - \int 1 d x$

$= x^{3} + x^{2} - x + C$ .

b) $\int (x^{3} - x) d x$

$= \int x^{3} d x - \int x d x$

$= \frac{x^{4}}{4} - \frac{x^{2}}{2} + C$ .

c) $\int {(2 x + 1)}^{2} d x$

$= \int (4 x^{2} + 4 x + 1) d x$

$= 4 \int x^{2} d x + 4 \int x d x + \int 1 d x$

$= \frac{4 x^{3}}{3} + 2 x^{2} + x + C$ .

d) $\int {(2 x - \frac{1}{x})}^{2} d x$

$= \int (4 x^{2} - 4 + \frac{1}{x^{2}}) d x$

$= 4 \int x^{2} d x + \int x^{- 2} d x - 4 \int 1 d x$

$= \frac{4 x^{3}}{3} - \frac{1}{x} - 4 x + C$ .