Giải bài tập 4.22 trang 31

Đề bài

Gọi $(H)$ là hình phẳng giới hạn bởi parabol $y = - x^{2} + 6 x - 5$ và trục hoành. (Hình 4.28)

a) Tính diện tích $S$ của hình $(H)$ .

b) Từ thế kỉ thứ III trước Công nguyên, khi phép tính tích phân chưa ra đời, Archimedes đã dùng phương pháp của riêng mình và chỉ ra rằng diện tích của hình $(H)$ bằng $\frac{4}{3}$ lần diện tích tam giác $A B C$ . Tính $S$ theo kết quả mà Archimedes đã tìm ra và so sánh với kết quả ở câu a.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Tính diện tích hình phẳng bằng tích phân xác định của hàm $y = f (x)$ trên đoạn từ giao điểm của parabol với trục hoành.

Bước đầu tiên là tìm nghiệm của phương trình $y = 0$ (giao điểm với trục hoành).

Sau đó, sử dụng tích phân xác định để tính diện tích hình phẳng.

Diện tích của tam giác $A B C$ được tính theo công thức diện tích tam giác.

Sau đó, sử dụng kết quả mà Archimedes đã chỉ ra: Diện tích hình $(H)$ bằng $\frac{4}{3}$ lần diện tích của tam giác $A B C$

Lời giải chi tiết

- Phương trình parabol là:

$y = - x^{2} + 6 x - 5.$

- Tìm nghiệm của phương trình $y = 0$ :

$- x^{2} + 6 x - 5 = 0 \Rightarrow x = 1, x = 5.$

- Diện tích hình phẳng $S$ được tính bằng tích phân:

$S = \int_{1}^{5} (- x^{2} + 6 x - 5) d x .$

Tính tích phân:

$S = {[- \frac{x^{3}}{3} + 3 x^{2} - 5 x]}_{1}^{5} = (- \frac{125}{3} + 50) - (- \frac{1}{3} - 2) = \frac{32}{3} .$

Vậy diện tích hình phẳng $S = \frac{32}{3}$ .

- Diện tích tam giác $A B C$ với $A (3, 4)$ , $B (1, 0)$ , và $C (5, 0)$ là:

$S_{Δ A B C} = \frac{1}{2} \times 4 \times 4 = 8.$

- Theo Archimedes, diện tích hình $(H)$ bằng $\frac{4}{3}$ lần diện tích tam giác $A B C$ :

$S = \frac{4}{3} \times 8 = \frac{32}{3} .$

Kết quả này khớp với kết quả của câu a.