Giải bài tập 4.23 trang 32

Tính thể tích VVV của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng x=1x=1x = 1 và x=3x=3x = 3, biết rằng khi cắt vật thể bởi mặt phẳng vuông góc với trục OxOxOx tại điểm có hoành độ xxx (1≤x≤3)(1≤x≤3)(1 \le x \le 3)thì phần chung giữa chúng là một hình chữ nhật có độ dài hai cạnh là 3x3x3x và 3x−23x−23x

Đề bài

Tính thể tích $V$ của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng $x = 1$ và $x = 3$ , biết rằng khi cắt vật thể bởi mặt phẳng vuông góc với trục $O x$ tại điểm có hoành độ $x$ $(1 \leq x \leq 3)$ thì phần chung giữa chúng là một hình chữ nhật có độ dài hai cạnh là $3 x$ và $3 x - 2$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Thể tích của vật thể có tiết diện vuông góc với trục $O x$ là hình chữ nhật có diện tích thay đổi theo $x$ , được tính bằng tích phân:

$V = \int_{x_{1}}^{x_{2}} A (x) d x$ ,

trong đó $A (x)$ là diện tích của tiết diện tại hoành độ $x$ .

Lời giải chi tiết

- Diện tích tiết diện tại $x$ là:

$A (x) = 3 x \times (3 x - 2) = 9 x^{2} - 6 x .$

- Thể tích $V$ của vật thể được tính bằng tích phân:

$V = \int_{1}^{3} (9 x^{2} - 6 x) d x = {[3 x^{3} - 3 x^{2}]}_{1}^{3} = 54.$

Vậy thể tích của vật thể là $V = 54$ .