Giải bài tập 4.24 trang 32

Đề bài

Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường sau quanh trục hoành:

a) $y=\sqrt{2+\cos x}$, $y=0$, $x=0$, $x=\frac{\pi }{2}$.

b) $y=x^2-3x$, $y=0$, $x=0$, $x=3$.

Lời giải chi tiết

a) Với $y=\sqrt{2+\cos x}$, $y=0$, $x=0$, $x=\frac{\pi }{2}$, ta có:

- Thể tích khối tròn xoay là:

$V=\pi {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\left(\sqrt{2+\cos x}\right)}^{2}dx=\pi {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\left(2+\cos x\right)dx$

- Tính tích phân:

$V=\pi \left[{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}2dx+{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\cos xdx\right]=\pi \left[{2x|}_0^{\frac{\pi }{2}}+{\sin x|}_0^{\frac{\pi }{2}}\right]=\pi \left(\pi +1\right)={\pi }^2+\pi$

- Vậy thể tích khối tròn xoay là:

$V={\pi }^2+\pi$

b) Với $y=x^2-3x$, $y=0$, $x=0$, $x=3$, ta có:

- Thể tích khối tròn xoay là:

$V=\pi {\int }_0^3{(x^2-3x)}^{2}dx.$

- Khai triển biểu thức:

$(x^2-3x{)}^2=x^4-6x^3+9x^2.$

- Tính tích phân:

$V=\pi \left[{\int }_0^3{x}^{4}dx-6{\int }_0^3{x}^{3}dx+9{\int }_0^3{x}^{2}dx\right].$

- Các tích phân lần lượt là:

${\int }_0^3{x}^{4}dx=\frac{3^5}{5}=\frac{243}{5},$

${\int }_0^3{x}^{3}dx=\frac{3^4}{4}=\frac{81}{4},$

${\int }_0^3{x}^{2}dx=\frac{3^3}{3}=9.$

- Vậy thể tích khối tròn xoay là:

$V=\pi \left(\frac{243}{5}-6\times \frac{81}{4}+9\times 9\right)=\pi \left(\frac{243}{5}-\frac{486}{4}+81\right)=\frac{81}{10}\pi$.