Giải bài tập 4.25 trang 32

Đề bài

Người ta tạo ra mô hình một quả trứng ngỗng bằng cách quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=\frac{1}{30}\sqrt{7569-400x^2}$ và trục hoành với $-4,35\le x\le 4,35$ quanh trục hoành. Tính thể tích quả trứng, biết thể tích mô hình này xem như bằng thể tích quả trứng ngỗng và $x,y$ tính theo centimét.

Lời giải chi tiết

- Thể tích khối tròn xoay là:

$V=\pi {\int }_{-4,35}^{4,35}{\left(\frac{1}{30}\sqrt{7569-400x^2}\right)}^{2}dx=\frac{\pi }{900}{}^{}{\int }_{-4,35}^{4,35}(7569-400x^2)dx.$

- Do hàm số là hàm chẵn, ta chỉ cần tính trên đoạn $[0;4,35]$ và nhân đôi kết quả:

$V=\frac{2\pi }{900}{\int }_0^{4,35}(7569-400x^2)dx.$

- Tính tích phân:

$\int (7569-400x^2)dx=7569x-\frac{400x^3}{3}.$

- Thay cận 0 và 4,35:

$V=\frac{2\pi }{900}\left(7569\times 4,35-\frac{400\times 4,{35}^3}{3}\right).$

- Thể tích cuối cùng là:

$V\approx 153,24c{m}^3.$

Vậy, thể tích của quả trứng là khoảng $V\approx 153,24c{m}^3$.