Giải bài tập 4.25 trang 32

Người ta tạo ra mô hình một quả trứng ngỗng bằng cách quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y=130√7569−400x2y=1307569−400x2y = \frac{1}{{30}}\sqrt {7569 - 400{x^2}} và trục hoành với −4,35≤x≤4,35−4,35≤x≤4,35 - 4,35 \le x \le 4,35 quanh trục hoành. Tính thể tích quả trứng, biết thể tích mô hình

Đề bài

Người ta tạo ra mô hình một quả trứng ngỗng bằng cách quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = \frac{1}{30} \sqrt{7569 - 400 x^{2}}$ và trục hoành với $- 4, 35 \leq x \leq 4, 35$ quanh trục hoành. Tính thể tích quả trứng, biết thể tích mô hình này xem như bằng thể tích quả trứng ngỗng và $x, y$ tính theo centimét.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng công thức tính thể tích khối tròn xoay quanh trục hoành:

$V = π \int_{a}^{b} y^{2} d x .$

Lời giải chi tiết

- Thể tích khối tròn xoay là:

$V = π \int_{- 4, 35}^{4, 35} {(\frac{1}{30} \sqrt{7569 - 400 x^{2}})}^{2} d x = \frac{π}{900} \int_{- 4, 35}^{4, 35} (7569 - 400 x^{2}) d x .$

- Do hàm số là hàm chẵn, ta chỉ cần tính trên đoạn $[0; 4, 35]$ và nhân đôi kết quả:

$V = \frac{2 π}{900} \int_{0}^{4, 35} (7569 - 400 x^{2}) d x .$

- Tính tích phân:

$\int (7569 - 400 x^{2}) d x = 7569 x - \frac{400 x^{3}}{3} .$

- Thay cận 0 và 4,35:

$V = \frac{2 π}{900} (7569 \times 4, 35 - \frac{400 \times 4, 35^{3}}{3}) .$

- Thể tích cuối cùng là:

$V \approx 153, 24 c m^{3} .$

Vậy, thể tích của quả trứng là khoảng $V \approx 153, 24 c m^{3}$ .