Giải bài tập 4.26 trang 36

Đề bài

Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau:

a) $f (x) = x^{2} + \frac{2}{x^{2}}$

b) $f (x) = \sin^{2} \frac{x}{2} + 3^{2 x}$

c) $f (x) = \sqrt{3 x} - \frac{4}{\sin^{2} x}$

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Nguyên hàm của một số hàm cơ bản:

- $\int x^{n} d x = \frac{x^{n + 1}}{n + 1} ($ với $n \neq - 1)$ ;

- $\int \frac{1}{x^{n}} d x = \frac{x^{1 - n}}{1 - n}$ ;

- $\int \sin^{2} (x) d x =$ sử dụng công thức nửa góc: $\sin^{2} (x) = \frac{1 - \cos (2 x)}{2}$ ;

- $\int \frac{1}{\sin^{2} (x)} d x = - \cot (x)$ ;

- $\int a^{x} d x = \frac{a^{x}}{\ln (a)}$ , với $a > 0$ .

Lời giải chi tiết

a) $f (x) = x^{2} + \frac{2}{x^{2}}$

Nguyên hàm của $f (x)$ là:

$F (x) = \frac{x^{3}}{3} - \frac{2}{x} + C$

b) $f (x) = \sin^{2} \frac{x}{2} + 3^{2 x}$

Áp dụng công thức nửa góc:

$\sin^{2} \frac{x}{2} = \frac{1 - \cos x}{2}$

Ta có:

$F (x) = \frac{x}{2} - \frac{\sin x}{2} + \frac{3^{2 x}}{2 \ln 3} + C$

c) $f (x) = \sqrt{3 x} - \frac{4}{\sin^{2} x}$

Nguyên hàm của $f (x)$ là:

$F (x) = \frac{2}{9} \times (3 x)^{3 / 2} + 4 \cot (x) + C$ .