Giải bài tập 4.27 trang 36

Tính các tích phân sau: a) ∫10(3x+1)(x+3)dx∫01(3x+1)(x+3)dx\int_0^1 {(3x + 1)} (x + 3){\mkern 1mu} dx b) ∫0−5(3x+1−2ex)dx∫−50(3x+1−2ex)dx\int_{ - 5}^0 {({3^{x + 1}} - 2{e^x})} {\mkern 1mu} dx c) ∫π3π6cos2xsin2xcos2xdx∫π6π3cos⁡2xsin2xcos2xdx\int_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{3}} {\frac{{\cos 2x}}{{{{

Đề bài

Tính các tích phân sau:

a) $\int_{0}^{1} (3 x + 1) (x + 3) d x$

b) $\int_{- 5}^{0} (3^{x + 1} - 2 e^{x}) d x$

c) $\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{3}} \frac{\cos 2 x}{\sin^{2} x \cos^{2} x} d x$

d) $\int_{1}^{2} 2^{x} 3^{x - 1} d x$

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng các công thức cơ bản về tích phân:

- $\int x^{n} d x = \frac{x^{n + 1}}{n + 1}$

- $\int e^{x} d x = e^{x}$ ;

- $\int a^{x} d x = \frac{a^{x}}{\ln a}$

- Các phép nhân đa thức, các hàm mũ, và lượng giác có thể cần sử dụng các phương pháp đơn giản hóa.

Lời giải chi tiết

$\int_{0}^{1} (3 x + 1) (x + 3) d x = \int_{0}^{1} (3 x^{2} + 10 x + 3) d x$

Tính từng tích phân:

$\int 3 x^{2} d x = x^{3}, \int 10 x d x = 5 x^{2}, \int 3 d x = 3 x$

Vậy tích phân là:

${[x^{3} + 5 x^{2} + 3 x]}_{0}^{1} = 9$

$\int_{- 5}^{0} (3^{x + 1} - 2 e^{x}) d x$

Tính từng tích phân:

$\int 3^{x + 1} d x = \frac{3^{x + 1}}{\ln 3}$

$\int 2 e^{x} d x = 2 e^{x}$

Tích phân là:

${[\frac{3^{x + 1}}{\ln 3} - 2 e^{x}]}_{- 5}^{0} = (\frac{3^{1}}{\ln 3} - 2 e^{0}) - (\frac{3^{- 4}}{\ln 3} - 2 e^{- 5})$

$\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{3}} \frac{\cos 2 x}{\sin^{2} x \cos^{2} x} d x$

Đầu tiên, ta sử dụng các công thức lượng giác để đơn giản hóa biểu thức:

$\frac{\cos 2 x}{\sin^{2} x \cos^{2} x} = \frac{(2 \cos^{2} x - 1)}{\sin^{2} x \cos^{2} x}$

Ta tách thành hai phần:

$I = 2 \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{3}} \frac{1}{\sin^{2} x} d x - \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{3}} \frac{1}{\sin^{2} x \cos^{2} x} d x$

$\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{3}} \frac{1}{\sin^{2} x} d x = {[- \cot x]}_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{3}} = - \frac{1}{\sqrt{3}} + \sqrt{3} = \frac{2}{\sqrt{3}}$

$\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{3}} \frac{1}{\sin^{2} x \cos^{2} x} d x = \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{3}} \frac{4}{\sin^{2} 2 x} d x = 4. {[- \frac{1}{2} \cot 2 x]}_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{3}} = 4. \frac{1}{2} . (\frac{1}{\sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3}}) = \frac{4}{\sqrt{3}}$

Cuối cùng, kết quả của tích phân là:

$I = 0$

$\int_{1}^{2} 2^{x} 3^{x - 1} d x$

Sử dụng tích phân của hàm mũ:

$\int 2^{x} 3^{x - 1} d x = \frac{1}{3} \int (6^{x}) d x = \frac{6^{x}}{3 \ln 6}$

Tính tích phân:

${[\frac{6^{x}}{3 \ln 6}]}_{1}^{2} = \frac{6^{2}}{3 \ln 6} - \frac{6}{3 \ln 6} = \frac{12}{\ln 3} - \frac{2}{\ln 6} = \frac{10}{\ln 6}$