Giải bài tập 4.28 trang 28

Tìm họ các nguyên hàm của các hàm số sau: a) y=2x−1xy=2x−1xy = {2^x} - \frac{1}{x}; b) y=x√x+3cosx−2sin2xy=xx+3cos⁡x−2sin2xy = x\sqrt x + 3\cos x - \frac{2}{{{{\sin }^2}x}}.

Đề bài

Tìm họ các nguyên hàm của các hàm số sau:

a) $y = 2^{x} - \frac{1}{x}$ ;

b) $y = x \sqrt{x} + 3 \cos x - \frac{2}{\sin^{2} x}$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng kiến thức về tính chất cơ bản của nguyên hàm để tính: $\int k f (x) d x = k \int f (x) d x$ .

Sử dụng kiến thức về nguyên hàm một tổng để tính:

$\int [f (x) - g (x)] d x = \int f (x) d x - \int g (x) d x$ ;

$\int [f (x) + g (x)] d x = \int f (x) d x + \int g (x) d x$ .

Sử dụng kiến thức về nguyên hàm của hàm số lũy thừa để tính:

$\int x^{α} d x = \frac{x^{α + 1}}{α + 1} + C (α \neq - 1), \int \frac{1}{x} d x = \ln | x | + C$ .

Sử dụng kiến thức về nguyên hàm của hàm số mũ để tính: $\int a^{x} d x = \frac{a^{x}}{\ln a} + C$ $(0 < a \neq 1)$ .

Sử dụng kiến thức về nguyên hàm của hàm số lượng giác để tính:

$\int \cos x d x = \sin x + C$ , $\int \frac{1}{\sin^{2} x} d x = - \cot x + C$ .

Lời giải chi tiết

a) $\int (2^{x} - \frac{1}{x}) d x$

$= \int 2^{x} d x - \int \frac{1}{x} d x$

$= \frac{2^{x}}{\ln 2} - \ln | x | + C$ .

b) $\int (x \sqrt{x} + 3 \cos x - \frac{2}{\sin^{2} x}) d x$

$= \int x^{\frac{3}{2}} d x + 3 \int \cos x - 2 \int \frac{d x}{\sin^{2} x}$

$= \frac{2 x^{2} \sqrt{x}}{5} + 3 \sin x + 2 \cot x + C$ .