Giải bài tập 4.28 trang 36

Đề bài

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:

a) $y = 2^{x}$ , $y = 0$ , $x = 0$ , $x = 2$ ;

b) $y = 12 - x^{2}$ , $y = - x$ , $x = - 3$ , $x = 4$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong $y = f (x)$ và trục hoành trên đoạn $[a, b]$ được tính bằng công thức tích phân:

$A = \int_{a}^{b} | f (x) - 0 | d x = \int_{a}^{b} f (x) d x$

Nếu có hai đường cong $y_{1} (x)$ và $y_{2} (x)$ , diện tích hình phẳng giữa hai đường này trên đoạn $[a, b]$ là:

$A = \int_{a}^{b} | y_{1} (x) - y_{2} (x) | d x$

Lời giải chi tiết

Diện tích $A$ được tính bằng tích phân:

$A = \int_{0}^{2} 2^{x} d x$

Tính nguyên hàm của $2^{x}$ :

$\int 2^{x} d x = \frac{2^{x}}{\ln 2}$

Do đó:

$A = {[\frac{2^{x}}{\ln 2}]}_{0}^{2} = \frac{2^{2}}{\ln 2} - \frac{2^{0}}{\ln 2} = \frac{4}{\ln 2} - \frac{1}{\ln 2} = \frac{3}{\ln 2}$

Vậy diện tích cần tìm là:

$A = \frac{3}{\ln 2}$

Ta cần tính tích phân của hiệu giữa hai hàm $y_{1} (x) = 12 - x^{2}$ và $y_{2} (x) = - x$ trên đoạn $[- 3, 4]$ . Diện tích $A$ là:

$A = \int_{- 3}^{4} | 12 - x^{2} - (- x) | d x = \int_{- 3}^{4} | 12 - x^{2} + x | d x = \int_{- 3}^{4} (12 - x^{2} + x) d x$

Tính nguyên hàm:

$\int (12 - x^{2} + x) d x = 12 x - \frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{2}}{2}$

Thay cận $- 3$ và $4$ :

$A = {[12 x - \frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{2}}{2}]}_{- 3}^{4} = \frac{104}{3} - \frac{- 45}{2} = \frac{343}{6}$

Vậy diện tích là:

$A = \frac{343}{6}$ .