Giải bài tập 4.29 trang 28

Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số (fleft( x right) = 2cos x + frac{1}{{{{sin }^2}x}}) thỏa mãn điều kiện (Fleft( {frac{pi }{4}} right) = - 1).

Đề bài

Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số $f (x) = 2 \cos x + \frac{1}{\sin^{2} x}$ thỏa mãn điều kiện $F (\frac{π}{4}) = - 1$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng kiến thức về tính chất cơ bản của nguyên hàm để tính:

$\int k f (x) d x = k \int f (x) d x$ .

Sử dụng kiến thức về nguyên hàm một tổng để tính:

$\int [f (x) - g (x)] d x = \int f (x) d x - \int g (x) d x$ ,

$\int [f (x) + g (x)] d x = \int f (x) d x + \int g (x) d x$ .

Sử dụng kiến thức về nguyên hàm của hàm số lượng giác để tính:

$\int \cos x d x = \sin x + C$ , $\int \frac{1}{\sin^{2} x} d x = - \cot x + C$ .

Lời giải chi tiết

Ta có: $\int (2 \cos x + \frac{1}{\sin^{2} x}) d x$

$= 2 \int \cos x + \int \frac{d x}{\sin^{2} x}$

$= 2 \sin x - \cot x + C$ .

Vì $F (\frac{π}{4}) = - 1$ nên $2 \sin \frac{π}{4} - \cot \frac{π}{4} + C = - 1$ , suy ra $C = - \sqrt{2}$ .

Do đó, $F (x) = 2 \sin x - \cot x - \sqrt{2}$ .