Giải bài tập 4.29 trang 36

Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường sau quanh trục hoành: y=√x−2y=x−2y = \sqrt x - 2, y=0y=0y = 0, x=4x=4x = 4, x=9x=9x = 9.

Đề bài

Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường sau quanh trục hoành: $y = \sqrt{x} - 2$ , $y = 0$ , $x = 4$ , $x = 9$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Thể tích của một khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi $y = f (x)$ quanh trục hoành trên đoạn $[a, b]$ được tính bằng công thức:

$V = π \int_{a}^{b} {[f (x)]}^{2} d x$ .

Lời giải chi tiết

Thể tích $V$ được tính bằng:

$V = π \int_{4}^{9} {(\sqrt{x} - 2)}^{2} d x = π \int_{4}^{9} (x - 4 \sqrt{x} + 4) d x$

Tính nguyên hàm:

$\int x d x = \frac{x^{2}}{2}, \int 4 \sqrt{x} d x = \frac{8 x^{3 / 2}}{3}, \int 4 d x = 4 x$

Thay vào:

$V = π {[\frac{x^{2}}{2} - \frac{8 x^{3 / 2}}{3} + 4 x]}_{4}^{9} = π (\frac{27}{6} - \frac{16}{6}) = π (\frac{11}{6})$

Vậy thể tích khối tròn xoay là:

$V = \frac{11 π}{6}$ .