Giải bài tập 4.3 trang 11

Tìm: a) (int {left( {3sqrt x + frac{1}{{sqrt[3]{x}}}} right)} dx); b) (int {sqrt x left( {7{x^2} - 3} right)} dxleft( {x > 0} right)); c) (int {frac{{{{left( {2x + 1} right)}^2}}}{{{x^2}}}} dx); d) (int {left( {{2^x} + frac{3}{{{x^2}}}} right)} dx).

Đề bài

Tìm:

a) $\int (3 \sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt[3]{x}}) d x$ ;

b) $\int \sqrt{x} (7 x^{2} - 3) d x$ $(x > 0)$ ;

c) $\int \frac{{(2 x + 1)}^{2}}{x^{2}} d x$ ;

d) $\int (2^{x} + \frac{3}{x^{2}}) d x$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng kiến thức về tính chất cơ bản của nguyên hàm để tính: $\int k f (x) d x = k \int f (x) d x$ .

Sử dụng kiến thức về nguyên hàm một tổng để tính:

$\int [f (x) - g (x)] d x = \int f (x) d x - \int g (x) d x$ ,

$\int [f (x) + g (x)] d x = \int f (x) d x + \int g (x) d x$ .

Sử dụng kiến thức về nguyên hàm của hàm số lũy thừa để tính:

$\int x^{α} d x = \frac{x^{α + 1}}{α + 1} + C (α \neq - 1)$ , $\int \frac{1}{x} d x = \ln | x | + C$ .

Sử dụng kiến thức về nguyên hàm của hàm số mũ để tính:

$\int a^{x} d x = \frac{a^{x}}{\ln a} + C (0 < a \neq 1)$ .

Lời giải chi tiết

a) $\int (3 \sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt[3]{x}}) d x$

$= 3 \int x^{\frac{1}{2}} d x + \int x^{\frac{- 1}{3}} d x$

$= 2 x \sqrt{x} + \frac{3}{2} \sqrt[3]{x^{2}} + C$ .

b) $\int \sqrt{x} (7 x^{2} - 3) d x$

$= \int (7 x^{\frac{5}{2}} - 3 x^{\frac{1}{2}}) d x$

$= 7 \int x^{\frac{5}{2}} d x - 3 \int x^{\frac{1}{2}} d x$

$= 2 x^{3} \sqrt{x} - 2 x \sqrt{x} + C$ .

c) $\int \frac{{(2 x + 1)}^{2}}{x^{2}} d x$

$= \int \frac{4 x^{2} + 4 x + 1}{x^{2}} d x$

$= \int 4 d x + 4 \int \frac{1}{x} d x + \int x^{- 2} d x$

$= 4 x + 4 \ln | x | - \frac{1}{x} + C$ .

d) $\int (2^{x} + \frac{3}{x^{2}}) d x$

$= \int 2^{x} d x + 3 \int x^{- 2} d x$

$= \frac{2^{x}}{\ln 2} - \frac{3}{x} + C$ .