Giải bài tập 4.30 trang 36

Đề bài

Trọng lực của Trái Đất tác dụng lên một vệ tinh trong quá trình vệ tinh này được phóng lên từ mặt đất tới vị trí cách tâm Trái Đất $r$ (m) xác định bởi công thức: $F (r) = \frac{G M m}{r^{2}}$ , trong đó: $M = {6.10}^{24} k g$ là khối lượng Trái Đất, $m$ (kg) là khối lượng vệ tinh và $G = 6.67 \times 10^{- 11} N m^{2} / k g^{2}$ là hằng số hấp dẫn. Trọng lực này sinh công $W = \int_{a}^{b} F (h) d h$ (J) khi vệ tinh thay đổi từ cách tâm Trái Đất $a$ (m) lên vị trí cách tâm Trái Đất $b$ (m). Tính công tối thiểu để phóng một vệ tinh nặng $m = 1 000 k g$ từ mặt đất lên độ cao $35 780 k m$ so với mặt đất, biết bán kính Trái Đất là $6 370 k m$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Trọng lực tác dụng lên vệ tinh phụ thuộc vào khoảng cách từ tâm Trái Đất. Để tính công, ta sử dụng tích phân từ khoảng cách từ tâm Trái Đất ở mặt đất $r_{a} = R_{E a r t h}$ đến vị trí cuối cùng $r_{b} = R_{E a r t h} + h$ .

Công thực hiện được tính bằng công thức $W = \int_{a}^{b} F (h) d h$ .

Lời giải chi tiết

Công thức tính công thực hiện:

$M = {6.10}^{24} k g, m = 1000 k g, G = 6.67 \times 10^{- 11} N m^{2} / k g^{2}$

$R_{E a r t h} = 6 370 k m = 6, 37 \times 10^{6} m$

Độ cao $h = 35 780 k m = 3, 578 \times 10^{7} m$ .

Tính tích phân:

$W = G M m \int_{R_{E a r t h}}^{R_{E a r t h} + h} \frac{1}{r^{2}} d r = G M m {[- \frac{1}{r}]}_{R_{E a r t h}}^{R_{E a r t h} + h} = G M m (\frac{1}{R_{E a r t h}} - \frac{1}{R_{E a r t h} + h})$

$W = (6.67 \times 10^{- 11}) \times ({6.10}^{24}) \times (1000) \times (\frac{1}{6.37 \times 10^{6}} - \frac{1}{6.37 \times 10^{6} + 3.578 \times 10^{7}})$

$W \approx 5, 33 \times 10^{10} J$ .