Giải bài tập 4.30 trang 82

Đề bài

Đố vui. Chu vi Trái Đất bằng bao nhiêu?

Vào khoảng năm 200 trước Công nguyên, Eratosthenes (Ơ-ra-tô-xten), một nhà toán học và thiên văn học người Hy Lạp, đã ước lượng được “chu vi” của Trái Đất (chu vi của đường Xích Đạo) nhờ hai quan sát sau:

1. Hồi đó, hằng năm cứ vào trưa ngày Hạ Chí (21/6), người ta thấy tia sáng mặt trời chiếu thẳng xuống đáy một giếng sâu nổi tiếng ở thành phố Syene (Xy-en), tức là tia sáng chiếu thẳng đứng.

2. Cũng vào trưa một ngày Hạ chí, ở thành phố Alexandria (A-lếch-xăng-đri-a) cách Syene 800 km, Eratosthenes thấy 1 tháp cao 25 m có bóng trên mặt đất dài 3,1 m.

Từ hai quan sát trên, ông có thể tính xấp xỉ “chu vi” của Trái Đất như thế nào? (trên Hình 4.38), điểm O là tâm của Trái Đất, điểm S tượng trưng cho thành phố Syene, điểm A tượng trưng cho thành phố Alexandria, điểm H là đỉnh của tháp, bóng của tháp trên mặt đất được coi là đoạn thẳng AB.

Video hướng dẫn giải

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Vẽ hình minh họa để dễ quan sát.

+ Vì đường thẳng vuông góc mặt đất thì đi qua tâm O nên theo giả thiết, tia sáng mặt trời song song với OS, do đó BH song song với OS, suy ra $\hat{A H B} = \hat{A O S}$ .

+ Vì $A H = 25 m$ khá bé so với R, Earthostene coi đoạn thẳng $A B = 3, 1 m$ vuông góc với AH tạo thành tam giác BAH vuông tại A, ta có $\tan \hat{A H B} = \frac{A B}{A H}$ nên tính được góc SOA.

+ Độ dài một đoạn tùy ý trên đường tròn tâm O tỉ lệ thuận với số góc tạo bởi O và hai đầu mút của đoạn đó nên ta viết được tỉ lệ giữa một đoạn và chu vi đường tròn = tỉ lệ giữa góc tạo thành và $360^{\circ}$

Lời giải chi tiết

Ta có hình minh họa các điểm để dễ quan sát như sau:

Trên hình vẽ, ta có đường tròn (C) với O là tâm Trái Đất. Đường tròn đi qua S (Syene), A (Alexandria), OS = OA = R.

Theo giả thiết ta có đoạn SA = 800 km.

Gọi H là đỉnh tháp, chân tại A thì A nằm giữa O và H, $A H = 25 m$ . Bóng của tháp là đoạn AB.

Vì đường thẳng vuông góc mặt đất thì đi qua tâm O nên theo giả thiết, tia sáng mặt trời song song với OS, do đó BH song song với OS, suy ra $\hat{A H B} = \hat{A O S}$ .

Vì $A H = 25 m$ khá bé so với R, Earthostene coi AB là một đoạn thẳng $A B = 3, 1 m$ vuông góc với AH tạo thành tam giác BAH vuông tại A, ta có $\tan \hat{A H B} = \frac{A B}{A H} = \frac{3, 1}{25} = \frac{31}{250}$

Suy ra $\tan \hat{A O S} = \frac{31}{250}$ nên $\hat{A O S} \approx 7^{o} 4^{'}$

Ta có độ dài một đoạn tùy ý trên đường tròn tâm O tỉ lệ thuận với số góc tạo bởi O và hai đầu mút của đoạn đó.

Mà khoảng cách giữa A và S bằng 800km ứng với góc $\hat{A O S} \approx 7^{o} 4^{'}$ và toàn bộ đường tròn (C) ứng với góc $360^{o}$ nên ta có: $\frac{C}{800} = \frac{360^{o}}{7^{o} 4^{'}}$

Suy ra chu vi xấp xỉ bằng:

$C = \frac{360^{o}}{7^{o} 4^{'}} .800 \approx 40 755 (k m)$ .