Giải bài tập 4.32 trang 8

Tính các tích phân sau: a) (intlimits_1^4 {left( {{x^3} - 2sqrt x } right)dx} ); b) (intlimits_0^{frac{pi }{2}} {left( {cos x - sin x} right)dx} ); c) (intlimits_{frac{pi }{6}}^{frac{pi }{4}} {frac{{dx}}{{{{sin }^2}x}}} ); d) (intlimits_1^{16} {frac{{x - 1}}{{sqrt x }}dx} ).

Đề bài

Tính các tích phân sau:

a) $\int_{1}^{4} (x^{3} - 2 \sqrt{x}) d x$ ;

b) $\int_{0}^{\frac{π}{2}} (\cos x - \sin x) d x$ ;

c) $\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{4}} \frac{d x}{\sin^{2} x}$ ;

d) $\int_{1}^{16} \frac{x - 1}{\sqrt{x}} d x$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng kiến thức về định nghĩa tích phân để tính: Cho f(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a; b]. Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên đoạn [a; b] thì hiệu số $F (b) - F (a)$ được gọi là tích phân từ a đến b của hàm số f(x), kí hiệu $\int_{a}^{b} f (x) d x$ .

Lời giải chi tiết

a) $\int_{1}^{4} (x^{3} - 2 \sqrt{x}) d x$

$= (\frac{x^{4}}{4} - \frac{4 x \sqrt{x}}{3}) | \begin{array}{l} 4 \\ 1 \end{array}$

$= \frac{4^{4}}{4} - \frac{4.4 \sqrt{4}}{3} - \frac{1}{4} + \frac{4.1 \sqrt{1}}{3}$

$= \frac{653}{12}$ .

b) $\int_{0}^{\frac{π}{2}} (\cos x - \sin x) d x$

$= (\sin x + \cos x) | \begin{array}{l} \frac{π}{2} \\ 0 \end{array}$

$= \sin \frac{π}{2} + \cos \frac{π}{2} - \sin 0 - \cos 0$

$= 1 - 1 = 0$ .

c) $\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{4}} \frac{d x}{\sin^{2} x}$

$= - \cot x | \begin{array}{l} \frac{π}{4} \\ \frac{π}{6} \end{array}$

$= - \cot \frac{π}{4} + \cot \frac{π}{6}$

$= - 1 + \sqrt{3}$ .

d) $\int_{1}^{16} \frac{x - 1}{\sqrt{x}} d x$

$= \int_{1}^{16} (x^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{- 1}{2}}) d x$

$= (\frac{2 x \sqrt{x}}{3} - 2 \sqrt{x}) | \begin{array}{l} 16 \\ 1 \end{array}$

$= \frac{2.16 \sqrt{16}}{3} - 2 \sqrt{16} - \frac{2}{3} + 2 = 36$ .