Giải bài tập 4.4 trang 11

Tìm: a) (int {left( {2cos x - frac{3}{{{{sin }^2}x}}} right)} dx); b) (int {4{{sin }^2}frac{x}{2}} dx); c) (int {{{left( {sin frac{x}{2} - cos frac{x}{2}} right)}^2}} dx); d) (int {left( {x + {{tan }^2}x} right)} dx).

Đề bài

Tìm:

a) $\int (2 \cos x - \frac{3}{\sin^{2} x}) d x$ ;

b) $\int 4 \sin^{2} \frac{x}{2} d x$ ;

c) $\int {(\sin \frac{x}{2} - \cos \frac{x}{2})}^{2} d x$ ;

d) $\int (x + \tan^{2} x) d x$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng kiến thức về tính chất cơ bản của nguyên hàm để tính:

$\int k f (x) d x = k \int f (x) d x$ .

Sử dụng kiến thức về nguyên hàm một tổng để tính:

$\int [f (x) - g (x)] d x = \int f (x) d x - \int g (x) d x$ ;

$\int [f (x) + g (x)] d x = \int f (x) d x + \int g (x) d x$ .

Sử dụng kiến thức về nguyên hàm của hàm số lượng giác để tính:

$\int \cos x d x = \sin x + C$ , $\int \sin x d x = - \cos x + C$ , $\int \frac{1}{\cos^{2} x} d x = \tan x + C$ , $\int \frac{1}{\sin^{2} x} d x = - \cot x + C$ .

Lời giải chi tiết

a) $\int (2 \cos x - \frac{3}{\sin^{2} x}) d x$

$= 2 \int \cos x d x - 3 \int \frac{1}{\sin^{2} x} d x$

$= 2 \sin x + 3 \cot x + C$ .

b) Từ công thức nhân đôi $\cos 2 x = 1 - 2 \sin^{2} x$ , áp dụng vào bài ta có:

$\cos x = 1 - 2 \sin^{2} \frac{x}{2}$

$\Leftrightarrow 2 \sin^{2} \frac{x}{2} = 1 - \cos x$

$\Leftrightarrow 4 \sin^{2} \frac{x}{2} = 2 (1 - \cos x)$ .

Từ đó suy ra:

$\int 4 \sin^{2} \frac{x}{2} d x = \int 2 (1 - \cos x) d x$

$= 2 \int d x - 2 \int \cos x d x = 2 x - 2 \sin x + C$ .

c) $\int {(\sin \frac{x}{2} - \cos \frac{x}{2})}^{2} d x$

$= \int (\sin^{2} \frac{x}{2} + \cos^{2} \frac{x}{2} - 2 \sin \frac{x}{2} . \cos \frac{x}{2}) d x$

$= \int (1 - \sin x) d x$

$= \int d x - \int \sin x d x = x + \cos x + C$ .

d) $\int (x + \tan^{2} x) d x$

$= \int x d x + \int (\frac{1}{\cos^{2} x} - 1) d x$

$= \frac{x^{2}}{2} + \tan x - x + C$ .