Giải bài tập 4.41 trang 38

Đề bài

Một vật chuyển động trong 3 giờ với vận tốc $v$ (km/h) phụ thuộc vào thời gian $t$ (h) có đồ thị là một phần của đường parabol có đỉnh $I(2;9)$ và trục đối xứng song song với trục tung như Hình 4.30. Tính quãng đường mà vật di chuyển được trong 3 giờ đó.

A. $25,25km$

B. $24,25km$

C. $24,75km$

D. $26,75km$

Lời giải chi tiết

Ta biết rằng đồ thị $v\left(t\right)$ có dạng một parabol với đỉnh $I(2;9)$, vậy phương trình của parabol có dạng:

$v\left(t\right)=a(t-2{)}^2+9$

Dựa vào điểm $(0,6)$ trên đồ thị (vận tốc tại thời điểm $t=0$), ta thay vào phương trình để tìm $a$:

$6=a(0-2{)}^2+9$

$6=4a+9\Rightarrow 4a=-3\Rightarrow a=-\frac{3}{4}$

Vậy phương trình của vận tốc là:

$v\left(t\right)=-\frac{3}{4}(t-2{)}^2+9$

Bây giờ, ta tính quãng đường $S$ bằng cách lấy tích phân:

$S={\int }_0^3\left(-\frac{3}{4}{(t-2)}^2+9\right)dt={\int }_0^3-\frac{3}{4}(t-2{)}^{2}dt+{\int }_0^{3}9dt$

Tính tích phân của $9$:

${\int }_0^{3}9dt=9t{|}_0^3=9(3-0)=27$

Tính tích phân của $-\frac{3}{4}(t-2{)}^2$: Sử dụng biến đổi $u=t-2$, tích phân trở thành:

${\int }_0^3-\frac{3}{4}(t-2{)}^{2}dt={\int }_{-2}^1-\frac{3}{4}{u}^{2}du$

Tính tích phân của $u^2$:

${\int }_{-2}^1-\frac{3}{4}{u}^{2}du=-\frac{3}{4}\cdot \frac{u^3}{3}{|}_{-2}^1=-\frac{1}{4}\left(1^3-{(-2)}^3\right)=-\frac{1}{4}(1+8)=-\frac{9}{4}$

Vậy quãng đường $S$ là:

$S=27-\frac{9}{4}=\frac{108}{4}-\frac{9}{4}=\frac{99}{4}=24,75km$

Chọn C.