Giải bài tập 4.43 trang 39

Một con lắc lò xo dao động điều hòa theo phương ngang trên mặt phẳng không ma sát có vận tốc tại thời điểm ttt giây là v=4cos(t)v=4cos⁡(t)v = 4\cos (t) (cm/s). Tìm li độ của con lắc tại thời điểm t=2π3t=2π3t = \frac{{2\pi }}{3} giây, biết khi t=π2t=π2t = \frac{\pi }{2} giây thì con lắc có li độ x=4x

Đề bài

Một con lắc lò xo dao động điều hòa theo phương ngang trên mặt phẳng không ma sát có vận tốc tại thời điểm $t$ giây là $v = 4 \cos (t)$ (cm/s). Tìm li độ của con lắc tại thời điểm $t = \frac{2 π}{3}$ giây, biết khi $t = \frac{π}{2}$ giây thì con lắc có li độ $x = 4$ cm.

A. $\sqrt{3}$ cm.

B. 2 cm.

C. $2 \sqrt{3}$ cm.

D. 4 cm.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Chúng ta có thể sử dụng phương trình tích phân để tính li độ tại thời điểm $t = \frac{2 π}{3}$ .

$x (\frac{2 π}{3}) - x (\frac{π}{2}) = \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} v (t) d t$

Trong đó, $v (t) = 4 \cos (t)$ là phương trình vận tốc của con lắc.

Lời giải chi tiết

Tính tích phân của $4 \cos (t)$ :

$\int 4 \cos (t) d t = 4 \sin (t)$

Áp dụng cận tích phân từ $\frac{π}{2}$ đến $\frac{2 π}{3}$ :

$x (\frac{2 π}{3}) - x (\frac{π}{2}) = 4 (\sin (\frac{2 π}{3}) - \sin (\frac{π}{2})) = 4 (\frac{\sqrt{3}}{2} - 1) = 2 \sqrt{3} - 4$

Tính $x (\frac{2 π}{3})$ . Ta biết rằng $x (\frac{π}{2}) = 4$ , do đó:

$x (\frac{2 π}{3}) = x (\frac{π}{2}) + (2 \sqrt{3} - 4)$

$x (\frac{2 π}{3}) = 4 + 2 \sqrt{3} - 4 = 2 \sqrt{3}$

Li độ của con lắc tại thời điểm $t = \frac{2 π}{3}$ giây là $2 \sqrt{3}$ cm.