Giải bài tập 4.5 trang 11

Cho hàm số (y = fleft( x right)) xác định trên khoảng (left( {0; + infty } right)). Biết rằng (f'left( x right) = 2x + frac{1}{{{x^2}}}) với mọi (x in left( {0; + infty } right)) và (fleft( 1 right) = 1). Tính giá trị f(4).

Đề bài

Cho hàm số $y = f (x)$ xác định trên khoảng $(0; + \infty)$ . Biết rằng $f^{'} (x) = 2 x + \frac{1}{x^{2}}$ với mọi $x \in (0; + \infty)$ và $f (1) = 1$ . Tính giá trị f(4).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng kiến thức về khái niệm nguyên hàm của một hàm số để giải: Cho hàm số f(x) xác định trên một khoảng K (hoặc một đoạn, hoặc một nửa khoảng). Hàm số F(x) được gọi là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu $F^{'} (x) = f (x)$ với mọi x thuộc K.

Sử dụng kiến thức về nguyên hàm của hàm số lũy thừa để tính:

$\int x^{α} d x = \frac{x^{α + 1}}{α + 1} + C (α \neq - 1)$ .

Lời giải chi tiết

Vì $f^{'} (x) = 2 x + \frac{1}{x^{2}}$ nên $f (x) = \int f^{'} (x) d x$

$= \int (2 x + \frac{1}{x^{2}}) d x$

$= 2 \int x d x + \int x^{- 2} d x$

$= x^{2} - \frac{1}{x} + C$ .

Mà $f (1) = 1$ nên $1 - 1 + C = 1$ , suy ra $C = 1$ . Do đó, hàm số $f (x) = x^{2} - \frac{1}{x} + 1$ .

Vậy $f (4) = 4^{2} - \frac{1}{4} + 1 = \frac{67}{4}$ .