Giải bài tập 4.6 trang 10

Đề bài

Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau:

a) $f\left(x\right)=3x(1-x)$

b) $f\left(x\right)=3^{2x}$

c) $f\left(x\right)=\frac{x^2-x+2}{x^2}$

d) $f\left(x\right)=(2x-1{)}^2$

Lời giải chi tiết

a) Tính tích phân của $f\left(x\right)=3x(1-x)$:

$\int f\left(x\right)dx=\int (3x-3x^2)dx=\frac{3x^2}{2}-x^3+C$

b) Tính tích phân của $f\left(x\right)=3^{2x}$:

Đặt $u=2x$ thì $du=2dx$ hay $dx=\frac{1}{2}du$

$\int f\left(x\right)dx=\int 3^{2x}dx=\int 3^u.\frac{1}{2}du=\frac{1}{2}\int 3^{u}du=\frac{1}{2}.\frac{3^u}{\ln 3}+C=\frac{3^{2x}}{2\ln \left(3\right)}+C$

c) Tính tích phân của $f\left(x\right)=\frac{x^2-x+2}{x^2}$:

$\int f\left(x\right)dx=\int \left(1-\frac{1}{x}+\frac{2}{x^2}\right)dx=x-\ln |x|-\frac{2}{x}+C$

d) Tính tích phân của $f\left(x\right)=(2x-1{)}^2$:

Triển khai $(2x-1{)}^2=4x^2-4x+1$, sau đó tích phân:

$\int f\left(x\right)dx=\int (4x^2-4x+1)dx=\frac{4x^3}{3}-2x^2+x+C$