Giải bài tập 4.6 trang 11

Cho hàm số (y = fleft( x right)) có đồ thị là (C). Xét điểm (Mleft( {x;fleft( x right)} right)) thay đổi trên (C). Biết rằng, hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị (C) tại M là ({k_M} = {left( {x - 1} right)^2}) và điểm M trùng với gốc tọa độ khi nó nằm trên trục tung. Tìm biểu thức f(x).

Đề bài

Cho hàm số $y = f (x)$ có đồ thị là (C). Xét điểm $M (x; f (x))$ thay đổi trên (C). Biết rằng, hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị (C) tại M là $k_{M} = {(x - 1)}^{2}$ và điểm M trùng với gốc tọa độ khi nó nằm trên trục tung. Tìm biểu thức f(x).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng kiến thức về hệ số góc của tiếp tuyến đồ thị để tính: Đạo hàm của hàm số $y = f (x)$ tại điểm $x_{0}$ là hệ số góc của tiếp tuyến $M_{0} T$ với đồ thị (C) của hàm số tại điểm $M_{0} (x_{0}; f (x_{0}))$ .

Lời giải chi tiết

Vì hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị (C) tại M là $k_{M} = {(x - 1)}^{2}$ nên $f^{'} (x) = {(x - 1)}^{2}$ .

Ta có: $f (x) = \int f^{'} (x) d x = \int {(x - 1)}^{2} d x$

$= \int (x^{2} - 2 x + 1) d x = \frac{x^{3}}{3} - x^{2} + x + C$ .

Vì điểm M trùng với gốc tọa độ khi nó nằm trên trục tung nên M(0; 0).

Do đó ta có: $f (0) = 0$ nên $C = 0$ . Do đó, $f (x) = \frac{x^{3}}{3} - x^{2} + x$ .