Giải bài tập 4.7 trang 10

Đề bài

Tìm:

a) $\int 4^{\frac{x}{2}}dx$

b) $\int \frac{1}{{\sin }^{2}x{\cos }^{2}x}dx$

c) $\int e^x\left(2+\frac{e^{-x}}{3{\cos }^{2}x}\right)dx$

Lời giải chi tiết

a) Để tính $\int 4^{\frac{x}{2}}dx$, ta sử dụng phép đổi biến $4^{\frac{x}{2}}={\left(2^2\right)}^{\frac{x}{2}}=2^x$, do đó:

$\int 4^{\frac{x}{2}}dx=\int 2^{x}du=\frac{2^x}{\ln 2}+C$

b) Tích phân $\int \frac{1}{{\sin }^{2}x{\cos }^{2}x}dx$ có thể được viết lại dưới dạng:

$\int \frac{1}{{\sin }^{2}x{\cos }^{2}x}dx=\int \frac{1}{{\left(\sin x\cos x\right)}^2}dx=\int \frac{4}{{\sin }^{2}2x}dx$

Đặt $u=2x$ suy ra $du=2dx$, do đó:

$\int \frac{1}{{\sin }^{2}x{\cos }^{2}x}dx=2\int \frac{1}{{\sin }^{2}u}du=-2\cot u+C=-2\cot 2x+C$

c) Tích phân $\int e^x\left(2+\frac{e^{-x}}{3{\cos }^{2}x}\right)dx$ có thể được tách ra thành hai tích phân riêng:

$\int e^x\left(2+\frac{e^{-x}}{3{\cos }^{2}x}\right)dx=2\int e^{x}dx+\frac{1}{3}\int \frac{dx}{{\cos }^{2}x}$

Tính từng tích phân:

$2\int e^{x}dx=2e^x+C_1,\frac{1}{3}\int \frac{1}{{\cos }^{2}x}xdx=\frac{1}{3}\tan x+C_2$

Vậy kết quả là:

$\int e^x\left(2+\frac{e^{-x}}{3{\cos }^{2}x}\right)dx=2e^x+\frac{1}{3}\tan x+C$