Giải bài tập 4.7 trang 11

Một viên đạn được bắn thẳng đứng lên trên từ mặt đất. Giả sử tại thời điểm t giây (coi (t = 0) là thời điểm viên đạn được bắn lên), vận tốc của nó được cho bởi (vleft( t right) = 160 - 9,8tleft( {m/s} right)). Tìm độ cao của viên đạn (tính từ mặt đất). a) Sau (t = 5) giây; b) Khi nó đạt độ cao lớn n

Đề bài

Một viên đạn được bắn thẳng đứng lên trên từ mặt đất. Giả sử tại thời điểm t giây (coi $t = 0$ là thời điểm viên đạn được bắn lên), vận tốc của nó được cho bởi $v (t) = 160 - 9, 8 t$ $(m / s)$ . Tìm độ cao của viên đạn (tính từ mặt đất).

a) Sau $t = 5$ giây;

b) Khi nó đạt độ cao lớn nhất (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng kiến thức về khái niệm nguyên hàm của một hàm số để tính độ cao của viên đạn: Cho hàm số f(x) xác định trên một khoảng K (hoặc một đoạn hoặc một nửa khoảng). Hàm số F(x) được gọi là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu $F^{'} (x) = f (x)$ với mọi x thuộc K.

Lời giải chi tiết

Gọi S(t) là độ cao của viên đạn bắn lên từ mặt đất sau t giây kể từ thời điểm đạn được bắn lên.

Vì $v (t) = S^{'} (t)$ nên độ cao S(t) là một nguyên hàm của hàm số vận tốc v(t).

Do đó, $S (t) = \int v (t) d t$

$= \int (160 - 9, 8 t) d t = 160 t - 4, 9 t^{2} + C$ .

Theo giả thiết, $S (0) = 0$ nên $C = 0$ . Do đó, $S (t) = - 4, 9 t^{2} + 160 t$ (m).

a) Độ cao của viên đạn sau 5 giây là:

$S (5) = - 4, {9.5}^{2} + 160.5 = 677, 5$ (m).

b) Ta có: $S (t) = - 4, 9 t^{2} + 160 t$

$= \frac{- 1}{10} (49 t^{2} - 2.7. \frac{800}{7} t + \frac{640000}{49}) + \frac{64000}{49}$

$= \frac{- 1}{10} {(7 t - \frac{800}{7})}^{2} + \frac{64000}{49} \leq \frac{64000}{49} \forall t \in R$ .

Do đó, viên đạn đạt độ cao lớn nhất là $\frac{64000}{49} \approx 1306, 1$ m khi $t = \frac{800}{49}$ giây.