Giải bài tập 4.8 trang 10

Đề bài

Cường độ dòng điện (đơn vị: A) trong một dây dẫn tại thời điểm t giây là:

$I\left(t\right)=Q^{\prime }\left(t\right)=3t^2-6t+5$,

với $Q\left(t\right)$ là điện lượng (đơn vị: C) truyền trong dây dẫn tại thời điểm t. Biết khi $t=1$ giây, điện lượng truyền trong dây dẫn là $Q\left(1\right)=4$. Tính điện lượng truyền trong dây dẫn khi $t=3$.

Lời giải chi tiết

Ta biết rằng cường độ dòng điện $I\left(t\right)$ là đạo hàm của hàm điện lượng $Q\left(t\right)$:

$I\left(t\right)=Q^{\prime }\left(t\right)$

Để tìm hàm $Q\left(t\right)$, ta tích phân hàm $Q^{\prime }\left(t\right)$:

$Q\left(t\right)=\int (3t^2-6t+5)dt=t^3-3t^2+5t+C$

Theo đề bài ta có $t=1$ giây, $Q\left(1\right)=4$. Sử dụng điều kiện này để tìm $C$:

$Q\left(1\right)=1^3-3\cdot 1^2+5\cdot 1+C$

$4=1-3+5+C$

$4=3+C$

$C=1$

Vậy hàm $Q\left(t\right)$ là:

$Q\left(t\right)=t^3-3t^2+5t+1$

Thay $t=3$ vào hàm $Q\left(t\right)$:

$Q\left(3\right)=3^3-3\cdot 3^2+5\cdot 3+1$

$Q\left(3\right)=27-27+15+1$

$Q\left(3\right)=16$

Điện lượng truyền trong dây dẫn khi $t=3$ giây là $Q\left(3\right)=16$.