Giải bài tập 4.8 trang 10

Cường độ dòng điện (đơn vị: A) trong một dây dẫn tại thời điểm t giây là: I(t)=Q′(t)=3t2−6t+5I(t)=Q′(t)=3t2−6t+5I(t) = Q'(t) = 3{t^2} - 6t + 5, Với Q(t)Q(t)Q(t) là điện lượng (đơn vị: C) truyền trong dây dẫn tại thời điểm t. Biết khi t=1t=1t = 1 giây, điện lượng truyền trong dây dẫn là Q(1)=4Q(1)=4Q

Đề bài

Cường độ dòng điện (đơn vị: A) trong một dây dẫn tại thời điểm t giây là:

$I (t) = Q^{'} (t) = 3 t^{2} - 6 t + 5$ ,

với $Q (t)$ là điện lượng (đơn vị: C) truyền trong dây dẫn tại thời điểm t. Biết khi $t = 1$ giây, điện lượng truyền trong dây dẫn là $Q (1) = 4$ . Tính điện lượng truyền trong dây dẫn khi $t = 3$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Để tính điện lượng truyền trong dây dẫn khi $t = 3$ giây, ta thực hiện các bước sau:

- Xác định hàm lượng điện $Q (t)$ bằng cách tìm nguyên hàm của $I (t)$ .

- Dựa trên dữ liệu tại $t = 1$ để tìm hằng số C.

- Thay $t = 3$ để tính điện lượng.

Lời giải chi tiết

Ta biết rằng cường độ dòng điện $I (t)$ là đạo hàm của hàm điện lượng $Q (t)$ :

$I (t) = Q^{'} (t)$

Để tìm hàm $Q (t)$ , ta tích phân hàm $Q^{'} (t)$ :

$Q (t) = \int (3 t^{2} - 6 t + 5) d t = t^{3} - 3 t^{2} + 5 t + C$

Theo đề bài ta có $t = 1$ giây, $Q (1) = 4$ . Sử dụng điều kiện này để tìm $C$ :

$Q (1) = 1^{3} - 3 \cdot 1^{2} + 5 \cdot 1 + C$

$4 = 1 - 3 + 5 + C$

$4 = 3 + C$

$C = 1$

Vậy hàm $Q (t)$ là:

$Q (t) = t^{3} - 3 t^{2} + 5 t + 1$

Thay $t = 3$ vào hàm $Q (t)$ :

$Q (3) = 3^{3} - 3 \cdot 3^{2} + 5 \cdot 3 + 1$

$Q (3) = 27 - 27 + 15 + 1$

$Q (3) = 16$

Điện lượng truyền trong dây dẫn khi $t = 3$ giây là $Q (3) = 16$ .