Giải bài tập 4.8 trang 18

Sử dụng ý nghĩa hình học của tích phân, tính: a) (intlimits_1^2 {left( {2x + 1} right)dx} ); b) (intlimits_{ - 3}^3 {sqrt {9 - {x^2}} dx} ).

Đề bài

Sử dụng ý nghĩa hình học của tích phân, tính:

a) $\int_{1}^{2} (2 x + 1) d x$ ;

b) $\int_{- 3}^{3} \sqrt{9 - x^{2}} d x$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng kiến thức về ý nghĩa hình học của tích phân để tính: Nếu hàm số f(x) liên tục và không âm trên đoạn [a; b], thì tích phân $\int_{a}^{b} f (x) d x$ là diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị $y = f (x)$ , trục hoành và hai đường thẳng $x = a, x = b$ . Vậy $S = \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

Lời giải chi tiết

a) Tích phân cần tính là diện tích của hình thang vuông ABCD, có đáy nhỏ $A B = 3$ , đáy lớn $C D = 5$ và đường cao $A D = 1$ .

Do đó, $\int_{1}^{2} (2 x + 1) d x = S_{A B C D}$

$= \frac{1}{2} (A B + C D) A D = \frac{1}{2} (3 + 5) .1 = 4$ .

b) Ta có $y = \sqrt{9 - x^{2}}$ là phương trình nửa phía trên trục hoành của đường tròn tâm tại gốc tọa độ O và bán kính 3. Do đó, tích phân cần tính là diện tích nửa phía trên trục hoành của hình tròn tương ứng.

Vậy $\int_{- 3}^{3} \sqrt{9 - x^{2}} d x = \frac{1}{2} π . 3^{2} = \frac{9}{2} π$ .