Giải bài tập 4.9 trang 10

Đề bài

Một chiếc cốc chứa nước ở 95°C được đặt trong phòng có nhiệt độ 20°C. Theo định luật làm mát của Newton, nhiệt độ của nước trong cốc sau t phút (xem $t=0$ là thời điểm nước ở 95°C) là một hàm số $T\left(t\right)$. Tốc độ giảm nhiệt độ của nước trong cốc tại thời điểm t phút được xác định bởi $T^{\prime }\left(t\right)=-\frac{3}{2}{e}^{-\frac{t}{50}}$(°C/phút). Tính nhiệt độ của nước tại thời điểm $t=30$ phút.

Lời giải chi tiết

Ta biết rằng tốc độ giảm nhiệt độ của nước trong cốc tại thời điểm $t$ phút được cho bởi:

$T^{\prime }\left(t\right)=-\frac{3}{2}{e}^{-\frac{t}{50}}$.

Để tìm hàm số $T\left(t\right)$, ta sẽ tích phân hàm $T^{\prime }\left(t\right)$:

$\int \left(-\frac{3}{2}{e}^{-\frac{t}{50}}\right)dt=-\frac{3}{2}\int \left(e^{-\frac{1}{50}.t}\right)dt=-\frac{3}{2}\int {\left(e^{-\frac{1}{50}}\right)}^{t}dt$

$=-\frac{3}{2}.\frac{\left(e^{-\frac{1}{50}}\right)t}{\ln \left(e^{-\frac{1}{50}}\right)}+C=-\frac{3}{2}.\frac{\left(e^{-\frac{1}{50}}\right)t}{{}^{-\frac{1}{50}}}+C=75e^{-\frac{t}{50}}+C$.

Vậy hàm số $T\left(t\right)$ có dạng:

$T\left(t\right)=75e^{-\frac{t}{50}}+C$.

Theo đề bài khi $t=0$ phút, nhiệt độ của nước là 95°C:

$T\left(0\right)=95$

$95=75e^0+C$

$95=75+C$

$C=20$.

Vậy hàm số $T\left(t\right)$ là:

$T\left(t\right)=75e^{-\frac{t}{50}}+20$.

Thay $t=30$ vào hàm số $T\left(t\right)$:

$T\left(30\right)=75e^{-\frac{30}{50}}+20=75e^{-\frac{3}{5}}+20\approx 61,16$.

Vậy nhiệt độ của nước trong cốc tại thời điểm $t=30$ phút là khoảng $61,{16}^{\circ }C$.