Giải bài tập 4 trang 124

Chứng minh trong một đường tròn: a) Đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy; b) Đường kính đi qua trung điểm của một dây không đi qua tâm thì vuông góc với dây ấy; c) Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm; d) Hai dây cách đều tâm thì bằng nhau.

Đề bài

Chứng minh trong một đường tròn:

a) Đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy;

b) Đường kính đi qua trung điểm của một dây không đi qua tâm thì vuông góc với dây ấy;

c) Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm;

d) Hai dây cách đều tâm thì bằng nhau.

Video hướng dẫn giải

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Dựa vào kiến thức đã học để chứng minh.

Lời giải chi tiết

Gọi $H$ là chân đường vuông góc kẻ từ $A B$ xuống $C D$ .

Do $A B ⊥ C D$ nên $O H ⊥ C D$ .

Xét tam giác $O C D$ có: $O C = O D$ suy ra $Δ O C D$ vuông tại $O$ .

Lại có $O H ⊥ C D$ nên $O H$ đồng thời là đường trung tuyến của tam giác $O C D$ .

Vậy $H$ là trung điểm của $C D$ .

Gọi $H$ là trung điểm của $C D$ .

Xét tam giác $O C D$ có: $O C = O D$ suy ra $Δ O C D$ vuông tại $O$ .

Lại có $O H$ là đường trung tuyến của tam giác $O C D$ nên $O H$ đồng thời là đường cao của tam giác $O C D$ .

Vậy $O H ⊥ C D$ .

Gọi $O H, O K$ lần lượt là khoảng cách từ $O$ tới $A B, C D$ .

Do $A B = C D \Rightarrow A H = C K$ .

Xét tam giác $O A H$ và tam giác $O C K$ có:

$\hat{A H O} = \hat{C K O} = 90^{\circ}$

$O A = O C = R$

$A H = C K$

Suy ra $Δ A H O = Δ C K O$ (cạnh huyền – cạnh góc vuông)

Do đó $O H = O K$ (cạnh tương ứng).

Gọi $O H, O K$ lần lượt là khoảng cách từ $O$ tới $A B, C D$ .

Xét tam giác $O A H$ và tam giác $O C K$ có:

$\hat{A H O} = \hat{C K O} = 90^{\circ}$

$O A = O C = R$

$O H = O K$

Suy ra $Δ A H O = Δ C K O$ (cạnh góc vuông – cạnh góc vuông)

Do đó $A H = C K$ (cạnh tương ứng)

Chứng minh tương tự: $B H = D K$ nên $A B = C D$ .