Giải bài tập 4 trang 19

Đề bài

 

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của mỗi hàm số sau:

a) $f\left(x\right)=x^3-\frac{3}{2}{x}^2$ trên đoạn $\left[-1;2\right]$;

b) $f\left(x\right)=x^4-2x^3+x^2+1$ trên đoạn $\left[-1;1\right]$;

c) $f\left(x\right)=e^x\left(x^2-5x+7\right)$ trên đoạn $\left[0;3\right]$;

d) $f\left(x\right)=\cos 2x+2x+1$ trên đoạn $\left[\frac{-\pi }{2};\pi \right]$.

Lời giải chi tiết

a) Ta có: $f^{\prime }\left(x\right)=3x^2-3x$.

Nhận xét $f^{\prime }\left(x\right)=0\iff [\begin{array}{c}x=0\\ x=1\end{array}$.

Ta có $f\left(-1\right)=-\frac{5}{2};f\left(0\right)=0;f\left(1\right)=-\frac{1}{2};f\left(2\right)=2$.

Vậy hàm số $f\left(x\right)=x^3-\frac{3}{2}{x}^2$ có giá trị nhỏ nhất bằng $\frac{-5}{2}$ khi $x=-1$ và có giá trị lớn nhất bằng $2$ khi $x=2$ .

b) Ta có: $f^{\prime }\left(x\right)=4x^3-6x^2+2x$.

Nhận xét $f^{\prime }\left(x\right)=0\iff [\begin{array}{c}x=0\\ x=1\\ x=\frac{1}{2}\end{array}$.

Ta có $f\left(-1\right)=5;f\left(0\right)=1;f\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{17}{16};f\left(1\right)=1$.

Vậy hàm số $f\left(x\right)=x^4-2x^3+x^2+1$ có giá trị nhỏ nhất bằng $1$ khi $[\begin{array}{c}x=1\\ x=0\end{array}$ và có giá trị lớn nhất bằng $5$ khi $x=-1$.

c) Ta có: $f^{\prime }\left(x\right)=e^x\left(x^2-3x+2\right)$.

Nhận xét $f^{\prime }\left(x\right)=0\iff [\begin{array}{c}x=2\\ x=1\end{array}$.

Ta có $f\left(2\right)=e^2;f\left(0\right)=7;f\left(3\right)=e^3;f\left(1\right)=3e$.

Vậy hàm số $f\left(x\right)=e^x\left(x^2-5x+7\right)$ có giá trị nhỏ nhất bằng $7$ khi $x=0$ và có giá trị lớn nhất bằng $e^3$ khi $x=3$.

d) Ta có: $f^{\prime }\left(x\right)=-2\sin 2x+2$.

Nhận xét $f^{\prime }\left(x\right)=0\iff x=\frac{\pi }{4}$.

Ta có $f\left(-\frac{\pi }{2}\right)=-\pi ;f\left(\frac{\pi }{4}\right)=1+\frac{\pi }{2};f\left(\pi \right)=2+2\pi$.

Vậy hàm số $f\left(x\right)=\cos 2x+2x+1$ có giá trị nhỏ nhất bằng $-\pi$ khi $x=-\frac{\pi }{2}$ và có giá trị lớn nhất bằng $2+2\pi$ khi $x=\pi$.