Giải bài tập 4 trang 24

Đề bài

Nồng độ oxygen trong hồ theo thời gian $t$ cho bởi công thức $y (t) = 5 - \frac{15 t}{9 t^{2} + 1}$ , với $y$ được tính theo $m g / l$ và $t$ được tính theo giờ, $t \geq 0$ . Tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số $y = y (t)$ . Từ đó, có nhận xét gì về nồng độ oxygen trong hồ khi thời gian $t$ trở nên rất lớn?

(Theo: www.researchgate.net/publication/264903978_Microrespirometric_ characterization_of_activated_sludge_inhibition_by_copper_and_zinc)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

- Đường thẳng x = a được gọi là một đường tiệm cận đứng (hay tiệm cận đứng) của đồ thị hàm số y = f(x) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau thoả mãn: $\underset{x \to a^{-}}{lim f (x) =} + \infty$ , $\underset{x \to a^{+}}{lim f (x) =} + \infty$ , $\underset{x \to a^{-}}{lim f (x) =} - \infty$ , $\underset{x \to a^{+}}{lim f (x) =} - \infty$ .

- Đường thẳng y = m được gọi là một đường tiệm cận ngang (hay tiệm cận ngang) của đồ thị hàm số y = f(x) nếu $lim_{x \to - \infty} f (x) = m$ hoặc $lim_{x \to + \infty} f (x) = m$ .

- Đường thẳng y = ax + b, a ≠ 0, được gọi là đường tiệm cận xiên (hay tiệm cận xiên) của đồ thị hàm số y = f(x) nếu $lim_{x \to - \infty} [f (x) - (a x + b)] = 0$ hoặc $lim_{x \to + \infty} [f (x) - (a x + b)] = 0$ .

Lời giải chi tiết

Xét $y (t) = 5 - \frac{15 t}{9 t^{2} + 1}$ , ta có:

$lim_{t \to + \infty} y (t) = lim_{t \to + \infty} (5 - \frac{15 t}{9 t^{2} + 1}) = lim_{t \to + \infty} \frac{45 t^{2} - 15 t + 5}{9 t^{2} + 1}$

$= lim_{t \to + \infty} \frac{45 - \frac{15}{t} + \frac{5}{t^{2}}}{9 + \frac{1}{t^{2}}} = 5$ ;

$lim_{t \to - \infty} y (t) = lim_{t \to - \infty} (5 - \frac{15 t}{9 t^{2} + 1}) = lim_{t \to - \infty} \frac{45 t^{2} - 15 t + 5}{9 t^{2} + 1}$

$= lim_{t \to - \infty} \frac{45 - \frac{15}{t} + \frac{5}{t^{2}}}{9 + \frac{1}{t^{2}}} = 5$ .

Vậy đường thẳng y = 5 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Nhận xét: Khi thời gian $t$ trở nên rất lớn, nồng độ oxygen trong hồ tiến dần về 5mg/l.