Giải bài tập 4 trang 26

Đề bài

Tìm tiệm cận đứng, tiệm cận ngang, tiệm cận xiên (nếu có) của đồ thị mỗi hàm số sau:

a) $y = \frac{x}{2 - x}$ ;

b) $y = \frac{2 x^{2} - 3 x + 2}{x - 1}$ ;

c) $y = x - 3 + \frac{1}{x^{2}}$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Đường thẳng $y = y_{o}$ được gọi là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = f (x)$ nếu $lim_{x \to + \infty} f (x) = y_{o}$ hoặc $lim_{x \to - \infty} f (x) = y_{o}$ .

Đường thẳng $x = x_{o}$ được gọi là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = f (x)$ nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:

$lim_{x \to x_{o}^{-}} f (x) = + \infty$ , $lim_{x \to x_{o}^{-}} f (x) = - \infty$ , $lim_{x \to x_{o}^{+}} f (x) = + \infty$ , $lim_{x \to x_{o}^{+}} f (x) = - \infty$ .

Đưởng thẳng $y = a x + b (a \neq 0)$ được gọi là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $y = f (x)$ nếu:

$lim_{x \to + \infty} [f (x) - (a x + b)] = 0$ hoặc $lim_{x \to - \infty} [f (x) - (a x + b)] = 0$ .

Lời giải chi tiết

a) Tập xác định: $D = R ∖ {2}$ .

Ta có: $lim_{x \to + \infty} y = lim_{x \to - \infty} y = \frac{x}{2 - x} = - 1$ .

Mặt khác: ${\begin{cases} lim_{x \to 2^{-}} y = lim_{x \to 2^{-}} \frac{x}{2 - x} = + \infty \\ lim_{x \to 2^{+}} y = lim_{x \to 2^{+}} \frac{x}{2 - x} = - \infty \end{cases}$

Vậy đường thẳng $y = - 1$ và $x = 2$ lần lượt là đường tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = \frac{x}{2 - x}$ .

b) Tập xác định: $D = R ∖ {1}$ .

Ta có: ${\begin{cases} lim_{x \to 1^{-}} y = lim_{x \to 1^{-}} \frac{2 x^{2} - 3 x + 2}{x - 1} = - \infty \\ lim_{x \to 1^{+}} y = lim_{x \to 1^{+}} \frac{2 x^{2} - 3 x + 2}{x - 1} = + \infty \end{cases}$

Mặt khác, $y = \frac{2 x^{2} - 3 x + 2}{x - 1} = 2 x - 1 + \frac{1}{x - 1}$ .

Xét $lim_{x \to + \infty} [y - (2 x - 1)] = lim_{x \to + \infty} \frac{1}{x - 1} = 0$ .

Vậy đường thẳng $x = 1$ và đường thẳng $y = 2 x - 1$ lần lượt là tiệm cận đứng và tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $y = \frac{2 x^{2} - 3 x + 2}{x - 1}$ .

c) Tập xác định: $D = R ∖ {0}$ .

Ta có: ${\begin{cases} lim_{x \to 0^{-}} y = lim_{x \to 0^{-}} (x - 3 + \frac{1}{x^{2}}) = + \infty \\ lim_{x \to 0^{+}} y = lim_{x \to 0^{+}} (x - 3 + \frac{1}{x^{2}}) = + \infty \end{cases}$

Xét $lim_{x \to + \infty} [y - (x - 3)] = lim_{x \to + \infty} \frac{1}{x^{2}} = 0$ .

Vậy đường thẳng $x = 0$ và đường thẳng $y = x - 3$ lần lượt là tiệm cận đứng và tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $y = x - 3 + \frac{1}{x^{2}}$ .