Giải bài tập 4 trang 36

Khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số sau: a) (y = frac{{{x^2} - 2x + 2}}{{x - 1}}) b) (y = 2x - frac{1}{{1 - 2x}})

Đề bài

Khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số sau:

a) $y = \frac{x^{2} - 2 x + 2}{x - 1}$

b) $y = 2 x - \frac{1}{1 - 2 x}$

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số

Bước 2. Xét sự biến thiên của hàm số

− Tìm đạo hàm y', xét dấu y', xác định khoảng đơn điệu của hàm số.

− Tìm giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và các tiệm cận của đồ thị hàm số (nếu có)

− Lập bảng biến thiên của hàm số.

Bước 3. Vẽ đồ thị của hàm số

− Xác định các giao điểm của đồ thị với các trục toạ độ

− Vẽ các đường tiệm cận của đồ thị hàm số (nếu có).

− Vẽ đồ thị hàm số.

Lời giải chi tiết

a) $y = \frac{x^{2} - 2 x + 2}{x - 1}$

Tập xác định: $D = R ∖ {1}$

Chiều biến thiên:

$y^{'} = \frac{x^{2} - 2 x}{{(x - 1)}^{2}} = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = 2 \end{array}$

Trên các khoảng ( $- \infty$ ; 0), (2; $+ \infty$ ) thì y' < 0 nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng đó. Trên khoảng (0; 2) thì y' > 0 nên hàm số đồng biến trên khoảng đó.

Giới hạn và tiệm cận:

$lim_{x \to + \infty} y = lim_{x \to + \infty} \frac{x^{2} - 2 x + 2}{x - 1} = + \infty; lim_{x \to - \infty} y = lim_{x \to - \infty} \frac{x^{2} - 2 x + 2}{x - 1} = - \infty$

$a = lim_{x \to + \infty} \frac{x^{2} - 2 x + 2}{x^{2} - x} = 1; b = lim_{x \to + \infty} (\frac{x^{2} - 2 x + 2}{x - 1} - x) = - 1$ nên y = x - 1 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số

$lim_{x \to 1^{+}} y = lim_{x \to 1^{+}} \frac{x^{2} - 2 x + 2}{x - 1} = + \infty; lim_{x \to 1^{-}} y = lim_{x \to 1^{-}} \frac{x^{2} - 2 x + 2}{x - 1} = - \infty$ nên x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

Bảng biến thiên:

Khi x = 0 thì y = -2 nên (0;-2) là giao điểm của y với trục Oy

b) $y = 2 x - \frac{1}{1 - 2 x}$

Tập xác định: $D = R ∖ {\frac{1}{2}}$

Chiều biến thiên:

$y^{'} = 2 - \frac{2}{{(1 - 2 x)}^{2}} = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = 1 \end{array}$

Trên các khoảng ( $- \infty$ ; 0), (1; $+ \infty$ ) thì y' > 0 nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng đó. Trên khoảng (0; $\frac{1}{2}$ ) và ( $\frac{1}{2}$ ; 1) thì y' < 0 nên hàm số đồng biến trên khoảng đó.

Giới hạn và tiệm cận:

$lim_{x \to + \infty} y = lim_{x \to + \infty} (2 x - \frac{1}{1 - 2 x}) = + \infty; lim_{x \to - \infty} y = lim_{x \to - \infty} (2 x - \frac{1}{1 - 2 x}) = - \infty$

$a = lim_{x \to + \infty} (2 - \frac{1}{x - 2 x^{2}}) = 2; b = lim_{x \to + \infty} (2 x - \frac{1}{1 - 2 x} - 2 x) = 0$ nên y = 2x là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số

$lim_{x \to {\frac{1}{2}}^{+}} y = lim_{x \to {\frac{1}{2}}^{+}} (2 x - \frac{1}{1 - 2 x}) = + \infty; lim_{x \to {\frac{1}{2}}^{-}} y = lim_{x \to {\frac{1}{2}}^{-}} (2 x - \frac{1}{1 - 2 x}) = - \infty$ nên x = $\frac{1}{2}$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

Bảng biến thiên:

Khi x = 0 thì y = -1 nên (0;-1) là giao điểm của y với trục Oy