Giải bài tập 4 trang 51

Cho hình chóp S.ABCD. Gọi I là trọng tâm của tam giác ABC và J là trọng tâm tam giác ADC. Chứng minh rằng (2overrightarrow {SA} + overrightarrow {SB} + 2overrightarrow {SC} + overrightarrow {SD} = 3(overrightarrow {SI} + overrightarrow {SJ} ))

Đề bài

Cho hình chóp S.ABCD. Gọi I là trọng tâm của tam giác ABC và J là trọng tâm tam giác ADC. Chứng minh rằng $2 \vec{S A} + \vec{S B} + 2 \vec{S C} + \vec{S D} = 3 (\vec{S I} + \vec{S J})$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Áp dụng tính chất trọng tâm của tam giác và quy tắc 3 điểm.

Lời giải chi tiết

Xét S.ABC: $\vec{S A} + \vec{S B} + \vec{S C} = \vec{S I} + \vec{I A} + \vec{S I} + \vec{I B} + \vec{S I} + \vec{I C} = 3 \vec{S I} + (\vec{I A} + \vec{I B} + \vec{I C})$

Vì I là trọng tâm tam giác ABC nên $\vec{I A} + \vec{I B} + \vec{I C} = \vec{0}$ , suy ra $\vec{S A} + \vec{S B} + \vec{S C} = 3 \vec{S I}$

Xét S.ACD: $\vec{S A} + \vec{S C} + \vec{S D} = \vec{S J} + \vec{J A} + \vec{S J} + \vec{J C} + \vec{S J} + \vec{J D} = 3 \vec{S J} + (\vec{J A} + \vec{J C} + \vec{J D})$

Vì J là trọng tâm tam giác ABC nên $\vec{J A} + \vec{J C} + \vec{J D} = \vec{0}$ , suy ra $\vec{S A} + \vec{S C} + \vec{S D} = 3 \vec{S J}$

Ta có: $\vec{S A} + \vec{S B} + \vec{S C} + \vec{S A} + \vec{S C} + \vec{S D} = 3 \vec{S I} + 3 \vec{S J} \Leftrightarrow 2 \vec{S A} + \vec{S B} + 2 \vec{S C} + \vec{S D} = 3 (\vec{S I} + \vec{S J})$