Giải bài tập 4 trang 64

Đề bài

 

Cho điểm M(1; 2; 3). Hãy tìm toạ độ của các điểm:

a) $M_1,M_2,M_3$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của M trên các mặt phẳng toạ độ (Oxy), (Oyz), (Oxz).

b) Gọi M', M", M"' lần lượt là các điểm thỏa mãn:

+ O là trung điểm của MM';

+ MM" vuông góc và cắt mặt phẳng (Oxy) tại điểm H sao cho H là trung điểm của MM";

+ MM"' vuông góc và cắt trục Oy tại điểm K sao cho K là trung điểm của MM"'.

Lời giải chi tiết

a) $M_1(1;2;0),M_2(0;2;3),M_3(1;0;3)$.

b)

+) Vì O là trung điểm của MM’ nên

$\{\begin{array}{c}{x}_{M^{\prime }}=2x_O-x_M\\ y_{M^{\prime }}=2y_O-y_M\\ z_{M^{\prime }}=2z_O-z_M\end{array}\iff \{\begin{array}{c}{x}_{M^{\prime }}=2.0-1\\ y_{M^{\prime }}=2.0-2\\ z_{M^{\prime }}=2.0-3\end{array}\iff \{\begin{array}{c}{x}_{M^{\prime }}=-1\\ y_{M^{\prime }}=-2\\ z_{M^{\prime }}=-3\end{array}$

Vậy M’(-1;-2;-3).

+) Vì M’’ đối xứng với M qua mặt phẳng Oxy nên $M_1$ là trung điểm của MM’’. Khi đó

$\{\begin{array}{c}{x}_{M^{\prime \prime }}=2x_{M_1}-x_M\\ y_{M^{\prime \prime }}=2y_{M_1}-y_M\\ z_{M^{\prime \prime }}=2z_{M_1}-z_M\end{array}\iff \{\begin{array}{c}{x}_{M^{\prime \prime }}=2.1-1\\ y_{M^{\prime \prime }}=2.2-2\\ z_{M^{\prime \prime }}=2.0-3\end{array}\iff \{\begin{array}{c}{x}_{M^{\prime \prime }}=1\\ y_{M^{\prime \prime }}=2\\ z_{M^{\prime \prime }}=-3\end{array}$

Vậy M’’(1;2;-3).

+) K là hình chiếu của M trên Oy nên K(0;2;0).

Vì K là trung điểm của MM’’’ nên

$\{\begin{array}{c}{x}_{M^{\prime \prime \prime }}=2x_K-x_M\\ y_{M^{\prime \prime \prime }}=2y_K-y_M\\ z_{M^{\prime \prime \prime }}=2z_K-z_M\end{array}\iff \{\begin{array}{c}{x}_{M^{\prime \prime }}=2.0-1\\ y_{M^{\prime \prime }}=2.2-2\\ z_{M^{\prime \prime }}=2.0-3\end{array}\iff \{\begin{array}{c}{x}_{M^{\prime \prime }}=-1\\ y_{M^{\prime \prime }}=2\\ z_{M^{\prime \prime }}=-3\end{array}$

Vậy M’’’(-1;2;-3).