Giải bài tập 4 trang 64

Đề bài

Cho phương trình $2x^2-3x-6=0$.

a)    Chứng minh phương trình có 2 nghiệm phân biệt $x_1,x_2.$

b)   Tính $x_1+x_2;x_1.x_2$. Chứng minh cả 2 nghiệm $x_1,x_2$ đều khác 0.

c)    Tính $\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}$

d)   Tính ${x_1}^2+{x_2}^2$

e)    Tính $\left|x_1-x_2\right|.$

Lời giải chi tiết

a)   Phương trình có các hệ số $a=2;b=-3;c=-6$.

$\Delta =(-3{)}^2-\mathrm{4.2.}(-6)=57>0$

Vậy phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt.

b)  Áp dụng định lý Viète, ta có:

$x_1+x_2=\frac{-(-3)}{2}=\frac{3}{2};x_1.x_2=\frac{-6}{2}=-3.$

Vì $x_1.x_2=-3<0$ nên phương trình có 2 nghiệm trái dấu.

Vậy cả 2 nghiệm đều khác 0.

c)   $\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_1+x_2}{x_1.x_2}=\frac{3}{2}:\left(-3\right)=\frac{-1}{2}.$

d)  ${x_1}^2+{x_2}^2={\left(x_1+x_2\right)}^2-2x_1{x}_2={\left(\frac{3}{2}\right)}^2-2.\left(-3\right)=\frac{33}{4}.$

e)   Xét ${\left(\left|x_1-x_2\right|\right)}^2={x_1}^2+{x_2}^2-2x_1{x}_2={\left(x_1+x_2\right)}^2-4x_1{x}_2$

$={\left(\frac{3}{2}\right)}^2-4.\left(-3\right)=\frac{57}{4}.$

Vậy $\left|x_1-x_2\right|=\sqrt{{\left|x_1-x_2\right|}^2}=\frac{\sqrt{57}}{2}.$