Giải bài tập 4 trang 74

Đề bài

Bảng tần số ghép nhóm dưới thống kê theo độ tuổi số lượng thành viên nam và thành viên nữ đang sinh hoạt trong một câu lạc bộ dưỡng sinh.

a) Hãy tính các khoảng tứ phân vị của tuổi nam giới và nữ giới trong mỗi bảng số liệu ghép nhóm trên.

b) Hãy cho biết trong câu lạc bộ trên, nam giới hay nữ giới có tuổi đồng đều hơn.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Tứ phân vị thứ k, kí hiệu là $Q_{k}$ , với k = 1, 2, 3 của mẫu số liệu ghép nhóm được xác định như sau:

$Q_{k} = u_{m} + \frac{\frac{k n}{4} - C}{n_{m}} (u_{m + 1} - u_{m})$

trong đó:

$n = n_{1} + n_{2} + n_{3} + . . . + n_{k}$ là cỡ mẫu

$[u_{m}; u_{m + 1}]$ là nhóm chứa tứ phân vị thứ k

$n_{m}$ là tần số của nhóm chứa tứ phân vị thứ k

$C = n_{1} + n_{2} + n_{3} + . . . + n_{m - 1}$

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu $Δ_{Q}$ , là hiệu giữa tứ phân vị thứ ba $Q_{3}$ và tứ phân vị thứ nhất $Q_{1}$ của mẫu số liệu ghép nhóm đó, tức là $Δ_{Q} = Q_{3} - Q_{1}$ .

b) Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm càng nhỏ thì dữ liệu càng tập trung xung quanh trung vị.

Lời giải chi tiết

Cỡ mẫu $n = 50$ .

Gọi $x_{1}; x_{2}; \dots; x_{50}$ là mẫu số liệu gốc về số lượng thành viên nữ trong câu lạc bộ theo độ tuổi.

Ta có: $x_{1}; x_{2}; \dots; x_{4} \in [50; 55)$ ; $x_{5}; \dots; x_{11} \in [55; 60)$ ; $x_{12}; \dots; x_{15} \in [60; 65)$ ; $x_{16}; \dots; x_{21} \in [65; 70)$ ; $x_{22}; \dots; x_{36} \in [70; 75)$ ; $x_{37}; \dots; x_{48} \in [75; 80)$ ; $x_{49}; x_{50} \in [80; 85)$

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là $x_{13} \in [60; 65)$ . Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là: $Q_{1} = 60 + \frac{\frac{50}{4} - (4 + 7)}{4} (65 - 60) = 61, 875$

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là $x_{38} \in [75; 80)$ . Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là: $Q_{3} = 75 + \frac{\frac{3.50}{4} - (4 + 7 + 4 + 6 + 15)}{12} (80 - 75) = 75, 625$

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là: $Δ_{Q} = Q_{3} - Q_{1} = 13, 75$

Gọi $y_{1}; y_{2}; \dots; y_{50}$ là mẫu số liệu gốc về tuổi thọ trung bình của nữ giới ở 50 quốc gia được xếp theo thứ tự không giảm.

Ta có: $y_{1}; . . .; y_{3} \in [50; 55)$ ; $y_{4}; \dots; y_{7} \in [55; 60)$ ; $y_{8}; \dots; y_{12} \in [60; 65)$ ; $y_{13}; . . .; y_{15} \in [65; 70)$ ; $y_{16}; \dots; y_{22} \in [70; 75)$ ; $y_{23}; \dots; y_{36} \in [75; 80)$ ; $y_{37}; . . .; y_{49} \in [80; 85)$ ; $y_{50} \in [85; 90)$

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là $y_{13} \in [65; 70)$ . Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là: ${Q_{1}}^{'} = 65 + \frac{\frac{50}{4} - (3 + 4 + 5)}{3} (70 - 65) = \frac{395}{6}$

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là $y_{38} \in [80; 85)$ . Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là: ${Q_{3}}^{'} = 80 + \frac{\frac{3.50}{4} - (3 + 4 + 5 + 3 + 7 + 14)}{13} (85 - 80) = \frac{2095}{26}$

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là: ${Δ_{Q}}^{'} = {Q_{3}}^{'} - {Q_{1}}^{'} = \frac{575}{39}$

b) Có ${Δ_{Q}}^{'} > Δ_{Q}$ nên độ tuổi của nam giới đồng đều hơn.