Giải bài tập 4 trang 80

Đề bài

Cho hai biến cố $A,B$ có $P\left(A\right)=0,4;P\left(B\right)=0,8;P\left(A\cup B\right)=0,9$.

Tính $P\left(A|B\right);P\left(A|\overline{B}\right);P\left(\overline{A}|B\right);P\left(\overline{A}|\overline{B}\right)$.

Lời giải chi tiết

Theo quy tắc cộng xác suất ta có: $P\left(A\cup B\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)-P\left(AB\right)$.

Suy ra $P\left(AB\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)-P\left(A\cup B\right)=0,4+0,8-0,9=0,3$.

Theo công thức tính xác suất có điều kiện, ta có: $P\left(A|B\right)=\frac{P\left(AB\right)}{P\left(B\right)}=\frac{0,3}{0,8}=0,375$.

Vì $AB$ và $A\overline{B}$ là hai biến cố xung khắc và $AB\cup A\overline{B}=A$ nên theo tính chất của xác suất, ta có $P\left(A\overline{B}\right)=P\left(A\right)-P\left(AB\right)=0,4-0,3=0,1$.

Ta có: $P\left(\overline{B}\right)=1-P\left(B\right)=1-0,8=0,2$.

Theo công thức tính xác suất có điều kiện ta có: $P\left(A|\overline{B}\right)=\frac{P\left(A\overline{B}\right)}{P\left(\overline{B}\right)}=\frac{0,1}{0,2}=0,5$.

Do $\overline{A}|B$ và $A|B$ là hai biến cố đối nên ta có: $P\left(\overline{A}|B\right)=1-P\left(A|B\right)=1-0,375=0,625$.

Do $\overline{A}|\overline{B}$ và $A|\overline{B}$ là hai biến cố đối nên ta có: $P\left(\overline{A}|\overline{B}\right)=1-P\left(A|\overline{B}\right)=1-0,5=0,5$.