Giải bài tập 4 trang 84

Cho mặt cầu có phương trình ({left( {x - 1} right)^2} + {left( {y + 2} right)^2} + {left( {z - 7} right)^2} = 100). a) Xác định tâm và bán kính của mặt cầu. b) Mỗi điểm A(1; 1; 1), B(9; 4; 7), C(9; 9; 10) nằm trong, nằm ngoài hay nằm trên mặt cầu đó?

Đề bài

Cho mặt cầu có phương trình ${(x - 1)}^{2} + {(y + 2)}^{2} + {(z - 7)}^{2} = 100$ .

a) Xác định tâm và bán kính của mặt cầu.

b) Mỗi điểm A(1; 1; 1), B(9; 4; 7), C(9; 9; 10) nằm trong, nằm ngoài hay nằm trên mặt cầu đó?

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Sử dụng kiến thức về phương trình mặt cầu để tìm tọa độ tâm, bán kính của mặt cầu: Phương trình mặt cầu tâm $I (a; b; c)$ , bán kính R có là: ${(x - a)}^{2} + {(y - b)}^{2} + {(z - c)}^{2} = R^{2}$ .

b) Sử dụng kiến thức về vị trí của điểm so với mặt cầu để tìm bán kính của mặt cầu: Cho mặt cầu tâm I, bán kính R và điểm M bất kì trong không gian. Khi đó:

+ Điểm M thuộc mặt cầu tâm I, bán kính R khi và chỉ khi $I M = R$ .

+ Điểm M nằm ngoài mặt cầu tâm I, bán kính R khi và chỉ khi $I M > R$ .

+ Điểm M nằm trong mặt cầu tâm I, bán kính R khi và chỉ khi $I M < R$ .

Lời giải chi tiết

a) Ta có: ${(x - 1)}^{2} + {(y + 2)}^{2} + {(z - 7)}^{2} = 100$

$\Leftrightarrow {(x - 1)}^{2} + {(y - (- 2))}^{2} + {(z - 7)}^{2} = 10^{2}$

Do đó, mặt cầu đã cho có tâm I(1; -2; 7) và bán kính $R = 10$ .

b) Ta có: $I A = \sqrt{{(1 - 1)}^{2} + {(1 - (- 2))}^{2} + {(1 - 7)}^{2}} = \sqrt{45} < R$ nên điểm A nằm trong mặt cầu đã cho.

$I B = \sqrt{{(9 - 1)}^{2} + {(4 - (- 2))}^{2} + {(7 - 7)}^{2}} = 10 = R$ nên điểm B nằm trên mặt cầu đã cho.

$I C = \sqrt{{(9 - 1)}^{2} + {(9 - (- 2))}^{2} + {(10 - 7)}^{2}} = \sqrt{194} > R$ nên điểm C nằm ngoài mặt cầu đã cho.