Đề bài
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, S(−3;2;6), A(1;1;1), B(2;3;4), C(7;7;5).
a) Viết phương trình mặt phẳng (ABCD) và mặt phẳng (SCD).
b) Tính chiều cao của hình chóp S.ABCD.
- Nếu mặt phẳng đi qua 3 điểm A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),C(x3,y3,z3), phương trình mặt phẳng có thể viết bằng cách tìm vectơ pháp tuyến từ hai vectơ −−→AB và −−→AC.
- Chiều cao của hình chóp là khoảng cách từ đỉnh S(x0,y0,z0) đến mặt phẳng chứa đáy ABCD, sử dụng công thức khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng:
.d=|Ax0+By0+Cz0+D|√A2+B2+C2
Lời giải chi tiết
Viết phương trình mặt phẳng (ABCD) qua ba điểm A(1;1;1),B(2;3;4),C(7;7;5).
−−→AB=(2−1;3−1;4−1)=(1;2;3)−−→AC=(7−1;7−1;5−1)=(6;6;4)
Tìm vector pháp tuyến ⃗n=−−→AB×−−→AC:
⃗n=(2.4−3.6;3.6−1.4;1.6−2.6)=(−10;14;−6)
Phương trình mặt phẳng có dạng: −10(x−1)+14(y−1)−6(z−1)=0, suy ra:
−10x+14y−6z+2=0
Vậy phương trình mặt phẳng (ABCD) là: −5x+7y−3z+1=0.
Vì ABCD là hình bình hành nên:
−−→AB=−−→DC→−−→AB=−−→OC−−−→OD→−−→OD=−−→OC−−−→AB=(7−1;7−2;5−3)=(6;5;2)
Viết phương trình mặt phẳng (SCD) qua các điểm S(−3;2;6),C(7;7;5),D(6;5;2).
−−→SC=(7+3;7−2;5−6)=(10;5;−1)−−→SD=(6+3;5−2;2−6)=(9;3;−4)
Tìm vector pháp tuyến ⃗n′=−−→SC×−−→SD:
⃗n′=(5.(−4)−(−1).3;(−1).9−10.(−4);10.3−5.9)=(−17;31;−15)
Phương trình mặt phẳng có dạng: −17(x+3)+31(y−2)−15(z−6)=0, suy ra:
17x−31y+15z+23=0
Vậy phương trình mặt phẳng (SCD) là: 17x−31y+15z+23=0.
Tính chiều cao của hình chóp S.ABCD.
d=|−5.(−3)+7.(2)−3(6)+1|√(−5)2+72+(−3)2=|12|√25+49+9=12√83
Vậy chiều cao của hình chóp S.ABCD là 12√83.
