Giải bài tập 5.11 trang 52

Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có các đỉnh A(1;0;1),B(2;1;2),D(1;−1;1),C′(4;5;−5)A(1;0;1),B(2;1;2),D(1;−1;1),C′(4;5;−5)A(1;0;1),B(2;1;2),D(1; - 1;1),C'(4;5; - 5). a) Viết phương trình các mặt phẳng (ABCD),(A′B′C′D′)(ABCD),(A′B′C′D′)(ABCD),(A'B'C'D') và (ADDA′)(ADDA′)(ADDA'). b) Tính chiều cao của hình h

Đề bài

Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có các đỉnh $A (1; 0; 1), B (2; 1; 2), D (1; - 1; 1), C^{'} (4; 5; - 5)$ .

a) Viết phương trình các mặt phẳng $(A B C D), (A^{'} B^{'} C^{'} D^{'})$ và $(A D D A^{'})$ .

b) Tính chiều cao của hình hộp.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Nếu mặt phẳng đi qua 3 điểm A, B, C thì ta có thể làm như sau:

- Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng dựa trên tích có hướng của $\vec{A B}$ và $\vec{A C}$ .

- Thay một trong ba điểm A, B, C để tìm phương trình mặt phẳng.

b) Chiều cao của hình hộp có thể tính bằng khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng đáy (ABCD), sử dụng công thức khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng:

$d = \frac{| A x_{0} + B y_{0} + C z_{0} + D |}{\sqrt{A^{2} + B^{2} + C^{2}}}$

Lời giải chi tiết

a) Viết phương trình các mặt phẳng:

- Mặt phẳng $(A B C D)$ : Xét các điểm $A (1; 0; 1), B (2; 1; 2), D (1; - 1; 1)$ , ta có:

$\vec{A B} = (2 - 1, 1 - 0, 2 - 1) = (1, 1, 1)$

$\vec{A D} = (1 - 1, - 1 - 0, 1 - 1) = (0, - 1, 0)$

Tìm tích có hướng của $\vec{A B}$ và $\vec{A D}$ :

$\vec{n} = \vec{A B} \times \vec{A D} = (1 \cdot 0 - 1 \cdot (- 1); 1 \cdot 0 - 1 \cdot 0; 1 \cdot (- 1) - 1 \cdot 0) = (1; 0; - 1)$

Phương trình mặt phẳng có dạng:

$1 (x - 1) + 0 (y - 0) - 1 (z - 1) = 0 \Rightarrow x - z = 0$

Vậy phương trình mặt phẳng $(A B C D)$ là $x - z = 0$ .

- Mặt phẳng $(A^{'} B^{'} C^{'} D^{'})$ :

Vì ABCD.A’B’C’D’ là hình hộp nên hai mặt phẳng $(A B C D)$ và $(A^{'} B^{'} C^{'} D^{'})$ song song với nhau, suy ra vectơ phép tuyến của mặt phẳng $(A^{'} B^{'} C^{'} D^{'})$ cũng là $\vec{n} = (1; 0; - 1)$ .

Phương trình mặt phẳng có dạng:

$1 (x - 4) + 0 (y - 5) - 1 (z + 5) = 0 \Rightarrow x - z - 9 = 0$

Vậy phương trình mặt phẳng $(A^{'} B^{'} C^{'} D^{'})$ là $x - z - 9 = 0$ .

- Mặt phẳng $(A D D A^{'})$ :

Vì ABCD.A’B’C’D’ là hình hộp nên:

$\vec{A B} = \vec{D^{'} C^{'}} \to \vec{A B} = \vec{O C^{'}} - \vec{O D^{'}} \to \vec{O D^{'}} = \vec{O C^{'}} - \vec{A B} = (4 - 1; 5 - 1; - 5 - 1) = (3; 4; - 6)$

Ta có điểm $D = (3; 4; - 6)$

$\vec{A D^{'}} = (3 - 1; 4 - 0; - 6 - 1) = (2; 4; - 7)$

$\vec{A D} = (0; - 1; 0)$

Tìm tích có hướng của $\vec{A B}$ và $\vec{A D}$ :

$\vec{n} = \vec{A B} \times \vec{A D} = (4 \cdot 0 - (- 7) \cdot (- 1); (- 7) \cdot 0 - 2 \cdot 0; 2 \cdot (- 1) - 4 \cdot 0) = (- 7; 0; - 2)$

Phương trình mặt phẳng có dạng:

$- 7 (x - 1) + 0 (y - 0) - 2 (z - 1) = 0 \Rightarrow - 7 x - 2 z + 9 = 0$

Vậy phương trình mặt phẳng $(A D D A^{'})$ là $x - z = 0$ .

b) Tính chiều cao của hình hộp. Chiều cao của hình hộp có thể tính bằng khoảng cách từ điểm $A$ đến mặt phẳng đáy $(A^{'} B^{'} C^{'} D^{'})$ , sử dụng công thức khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng:

$d = \frac{| 1.1 - 1.1 - 9 |}{\sqrt{1^{2} + {(- 1)}^{2}}} = \frac{| - 9 |}{\sqrt{2}} = \frac{9}{\sqrt{2}}$

Vậy khoảng cách từ điểm $A$ đến mặt phẳng đáy $(A^{'} B^{'} C^{'} D^{'})$ là $\frac{9}{\sqrt{2}}$ .