Giải bài tập 5.11 trang 52

Đề bài

Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có các đỉnh $A(1;0;1),B(2;1;2),D(1;-1;1),C^{\prime }(4;5;-5)$.

a) Viết phương trình các mặt phẳng $\left(ABCD\right),\left(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }\right)$ và $\left(ADD{A}^{\prime }\right)$.

b) Tính chiều cao của hình hộp.

Lời giải chi tiết

a) Viết phương trình các mặt phẳng:

- Mặt phẳng $\left(ABCD\right)$: Xét các điểm $A(1;0;1),B(2;1;2),D(1;-1;1)$, ta có:

$\overrightarrow{AB}=(2-1,1-0,2-1)=(1,1,1)$

$\overrightarrow{AD}=(1-1,-1-0,1-1)=(0,-1,0)$

Tìm tích có hướng của $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AD}$:

$\vec{n}=\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AD}=(1\cdot 0-1\cdot (-1);1\cdot 0-1\cdot 0;1\cdot (-1)-1\cdot 0)=(1;0;-1)$

Phương trình mặt phẳng có dạng:

$1(x-1)+0(y-0)-1(z-1)=0\Rightarrow x-z=0$

Vậy phương trình mặt phẳng $\left(ABCD\right)$ là $x-z=0$.

- Mặt phẳng $\left(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }\right)$:

Vì ABCD.A’B’C’D’ là hình hộp nên hai mặt phẳng $\left(ABCD\right)$ và $\left(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }\right)$ song song với nhau, suy ra vectơ phép tuyến của mặt phẳng $\left(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }\right)$ cũng là $\overrightarrow{n}=(1;0;-1)$.

Phương trình mặt phẳng có dạng:

$1(x-4)+0(y-5)-1(z+5)=0\Rightarrow x-z-9=0$

Vậy phương trình mặt phẳng $\left(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }\right)$ là $x-z-9=0$.

- Mặt phẳng $\left(ADD{A}^{\prime }\right)$:

Vì ABCD.A’B’C’D’ là hình hộp nên:

$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{D^{\prime }{C}^{\prime }}\to \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{O{C}^{\prime }}-\overrightarrow{O{D}^{\prime }}\to \overrightarrow{O{D}^{\prime }}=\overrightarrow{O{C}^{\prime }}-\overrightarrow{AB}=(4-1;5-1;-5-1)=(3;4;-6)$

Ta có điểm $D=(3;4;-6)$

$\overrightarrow{A{D}^{\prime }}=(3-1;4-0;-6-1)=(2;4;-7)$

$\overrightarrow{AD}=(0;-1;0)$

Tìm tích có hướng của $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AD}$:

$\vec{n}=\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AD}=(4\cdot 0-(-7)\cdot (-1);(-7)\cdot 0-2\cdot 0;2\cdot (-1)-4\cdot 0)=(-7;0;-2)$

Phương trình mặt phẳng có dạng:

$-7(x-1)+0(y-0)-2(z-1)=0\Rightarrow -7x-2z+9=0$

Vậy phương trình mặt phẳng $\left(ADD{A}^{\prime }\right)$ là $x-z=0$.

b) Tính chiều cao của hình hộp. Chiều cao của hình hộp có thể tính bằng khoảng cách từ điểm $A$ đến mặt phẳng đáy $\left(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }\right)$, sử dụng công thức khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng:

$d=\frac{|1.1-1.1-9|}{\sqrt{1^2+{(-1)}^2}}=\frac{\left|-9\right|}{\sqrt{2}}=\frac{9}{\sqrt{2}}$

Vậy khoảng cách từ điểm $A$ đến mặt phẳng đáy $\left(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }\right)$ là $\frac{9}{\sqrt{2}}$.