Giải bài tập 5.12 trang 48

Trong không gian Oxyz, viết các phương trình tham số và chính tắc của đường thẳng (Delta ) đi qua (Aleft( {2; - 1;4} right)) và vuông góc với mặt phẳng (left( P right):x + 3y - z - 1 = 0).

Đề bài

Trong không gian Oxyz, viết các phương trình tham số và chính tắc của đường thẳng $Δ$ đi qua $A (2; - 1; 4)$ và vuông góc với mặt phẳng $(P) : x + 3 y - z - 1 = 0$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng kiến thức về phương trình tham số của đường thẳng để viết phương trình tham số đường thẳng: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $Δ$ đi qua điểm $A (x_{0}; y_{0}; z_{0})$ và có vectơ chỉ phương $\vec{u} = (a; b; c)$ . Hệ phương trình ${\begin{cases} x = x_{0} + a t \\ y = y_{0} + b t \\ z = z_{0} + c t \end{cases}$ được gọi là phương trình tham số của đường thẳng $Δ$ (t là tham số, $t \in R$ ).

Sử dụng kiến thức về phương trình chính tắc của đường thẳng để viết phương trình đường thẳng: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $Δ$ đi qua điểm $A (x_{0}; y_{0}; z_{0})$ và có vectơ chỉ phương $\vec{u} = (a; b; c)$ với a, b, c là các số khác 0. Hệ phương trình $\frac{x - x_{0}}{a} = \frac{y - y_{0}}{b} = \frac{z - z_{0}}{c}$ được gọi là phương trình chính tắc của đường thẳng $Δ$ .

Lời giải chi tiết

Vì đường thẳng $Δ$ vuông góc với mặt phẳng $(P) : x + 3 y - z - 1 = 0$ nên đường thẳng $Δ$ nhận $\vec{u} (1; 3; - 1)$ là một vectơ chỉ phương. Mà đường thẳng $Δ$ đi qua $A (2; - 1; 4)$ nên:

Phương trình tham số của $Δ$ là: ${\begin{cases} x = 2 + t \\ y = - 1 + 3 t \\ z = 4 - t \end{cases}$ .

Phương trình chính tắc của đường thẳng $Δ$ là: $\frac{x - 2}{1} = \frac{y + 1}{3} = \frac{z - 4}{- 1}$ .