Giải bài tập 5.12 trang 52

Cho hình lăng trụ tam giác ABC.EFD với các đỉnh A(2;−1;6)A(2;−1;6)A(2; - 1;6), B(−3;−1;−4)B(−3;−1;−4)B( - 3; - 1; - 4), C(5;−1;0)C(5;−1;0)C(5; - 1;0), D(1;2;1)D(1;2;1)D(1;2;1). a) Viết phương trình các mặt phẳng (BCDF),(ABFE),(DEF)(BCDF),(ABFE),(DEF)(BCDF),(ABFE),(DEF). b) Tính khoảng cách từ AAA đế

Đề bài

Cho hình lăng trụ tam giác ABC.EFD với các đỉnh $A (2; - 1; 6)$ , $B (- 3; - 1; - 4)$ , $C (5; - 1; 0)$ , $D (1; 2; 1)$ .

a) Viết phương trình các mặt phẳng $(B C D F), (A B F E), (D E F)$ .

b) Tính khoảng cách từ $A$ đến các mặt phẳng $(B C D F)$ và $(D E F)$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Nếu mặt phẳng đi qua 3 điểm A, B, C thì ta có thể làm như sau:

- Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng dựa trên tích có hướng của $\vec{A B}$ và $\vec{A C}$ .

- Thay một trong ba điểm A, B, C để tìm phương trình mặt phẳng.

b) Sử dụng công thức khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng:

$d = \frac{| A x_{0} + B y_{0} + C z_{0} + D |}{\sqrt{A^{2} + B^{2} + C^{2}}}$

Lời giải chi tiết

Phương trình mặt phẳng $(B C D F)$ :

- Xét các điểm $B (- 3; - 1; - 4), C (5; - 1; 0), D (1; 2; 1)$ .

- Tính các vectơ chỉ phương:

$\vec{B C} = (8, 0, 4), \vec{B D} = (4, 3, 5)$

- Tính tích có hướng:

$\vec{n} = \vec{B C} \times \vec{B D} = (- 1, - 2, 2)$

- Phương trình mặt phẳng có dạng:

$x + 2 y - 2 z - 3 = 0$

Phương trình mặt phẳng $(A B F E)$ :

- Vì ABC.EFD là hình lăng trụ tam giác nên

$\vec{B C} = \vec{F D} \to \vec{B C} = \vec{O D} - \vec{O F} \to \vec{O F} = \vec{O D} - \vec{B C} = (1 - 8; 2 - 0; 1 - 4) = (- 7; 2; - 3)$

- Xét các điểm $A (2; - 1; 6)$ , $B (- 3; - 1; - 4)$ , $F (- 7; 2; - 3)$ .

- Tính các vectơ chỉ phương:

$\vec{A B} = (- 5; 0; - 10), \vec{A F} = (- 9; 3; - 9)$

- Tính tích có hướng:

$\vec{n} = \vec{A B} \times \vec{A F} = (30; 45; - 15)$

- Phương trình mặt phẳng có dạng:

$30 x + 45 y - 15 z + 75 = 0 \Leftrightarrow 2 x + 3 y - z + 5 = 0$

Phương trình mặt phẳng $(D E F)$ :

- Vì ABC.EFD là hình lăng trụ tam giác nên

$\vec{A B} = \vec{E F} \to \vec{A B} = \vec{O F} - \vec{O E} \to \vec{O E} = \vec{O F} - \vec{A B} = (- 7 - (- 5); 2 - 0; - 3 - (- 10)) = (- 2; 2; 7)$

- Xét các điểm $D (1; 2; 1)$ ,

$E (- 2; 2; 7)$ , $F (- 7; 2; - 3)$ .

- Tính các vectơ chỉ phương:

$\vec{D E} = (- 3; 0; 6), \vec{D F} = (- 8; 0; - 4)$

- Tính tích có hướng:

$\vec{n} = \vec{D E} \times \vec{D F} = (0; - 60; 0)$

- Phương trình mặt phẳng có dạng:

$- 60 y + 120 = 0 \Leftrightarrow - y + 2 = 0$

Khoảng cách từ $A (2; - 1; 6)$ đến mặt phẳng $(B C D F)$ là:

$d = \frac{| 1 \cdot 2 + 2 \cdot (- 1) - 2 \cdot 6 - 3 |}{\sqrt{1^{2} + 2^{2} + {(- 2)}^{2}}} = \frac{15}{3} = 5$

Vậy khoảng cách từ điểm $A$ đến mặt phẳng $(B C D F)$ là $d = 5$ .

Khoảng cách từ $A (2; - 1; 6)$ đến mặt phẳng $(D E F)$ là:

$d = \frac{| - 1. (- 1) + 2 |}{\sqrt{{(- 1)}^{2}}} = \frac{3}{1} = 3$

Vậy khoảng cách từ điểm $A$ đến mặt phẳng $(D E F)$ là $d = 3$ .