Đề bài
Cho hình lăng trụ tam giác ABC.EFD với các đỉnh A(2;−1;6), B(−3;−1;−4), C(5;−1;0), D(1;2;1).
a) Viết phương trình các mặt phẳng (BCDF),(ABFE),(DEF).
b) Tính khoảng cách từ A đến các mặt phẳng (BCDF) và (DEF).
a) Nếu mặt phẳng đi qua 3 điểm A, B, C thì ta có thể làm như sau:
- Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng dựa trên tích có hướng của −−→AB và −−→AC.
- Thay một trong ba điểm A, B, C để tìm phương trình mặt phẳng.
b) Sử dụng công thức khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng:
d=|Ax0+By0+Cz0+D|√A2+B2+C2
Lời giải chi tiết
a)
Phương trình mặt phẳng (BCDF):
- Xét các điểm B(−3;−1;−4),C(5;−1;0),D(1;2;1).
- Tính các vectơ chỉ phương:
−−→BC=(8,0,4),−−→BD=(4,3,5)
- Tính tích có hướng:
⃗n=−−→BC×−−→BD=(−1,−2,2)
- Phương trình mặt phẳng có dạng:
x+2y−2z−3=0
Phương trình mặt phẳng (ABFE):
- Vì ABC.EFD là hình lăng trụ tam giác nên
−−→BC=−−→FD→−−→BC=−−→OD−−−→OF→−−→OF=−−→OD−−−→BC=(1−8;2−0;1−4)=(−7;2;−3)
- Xét các điểm A(2;−1;6), B(−3;−1;−4), F(−7;2;−3).
- Tính các vectơ chỉ phương:
−−→AB=(−5;0;−10),−−→AF=(−9;3;−9)
- Tính tích có hướng:
⃗n=−−→AB×−−→AF=(30;45;−15)
- Phương trình mặt phẳng có dạng:
30x+45y−15z+75=0⇔2x+3y−z+5=0
Phương trình mặt phẳng (DEF):
- Vì ABC.EFD là hình lăng trụ tam giác nên
−−→AB=−−→EF→−−→AB=−−→OF−−−→OE→−−→OE=−−→OF−−−→AB=(−7−(−5);2−0;−3−(−10))=(−2;2;7)
- Xét các điểm D(1;2;1),
E(−2;2;7), F(−7;2;−3).
- Tính các vectơ chỉ phương:
−−→DE=(−3;0;6),−−→DF=(−8;0;−4)
- Tính tích có hướng:
⃗n=−−→DE×−−→DF=(0;−60;0)
- Phương trình mặt phẳng có dạng:
−60y+120=0⇔−y+2=0
b)
Khoảng cách từ A(2;−1;6) đến mặt phẳng (BCDF) là:
d=|1⋅2+2⋅(−1)−2⋅6−3|√12+22+(−2)2=153=5
Vậy khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (BCDF) là d=5.
Khoảng cách từ A(2;−1;6) đến mặt phẳng (DEF) là:
d=|−1.(−1)+2|√(−1)2=31=3
Vậy khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (DEF) là d=3.
